[论文解读] Integral and isocapacitary inequalities

Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了涉及调和容量的精确积分不等式，这些不等式蕴含了第一 Dirichlet-Laplace 特征值的 Faber-Krahn 性质。研究证明，即使在关于一个球星形的区域中，等容积常数与等周常数也不等价，并通过新型等周与等容积不等式，给出了广义差分半范数-梯度范数不等式成立的必要与充分条件。

ABSTRACT

It is shown by a counterexample that isocapacitary and isoperimetric constants of a multi-dimensional Euclidean domain starshaped with respect to a ball are not equivalent. Sharp integral inequalities involving the harmonic capacity which imply Faber-Krahn property of the fundamental Dirichlet-Laplace eigenvalue are obtained. Necessary and sufficient conditions ensuring integral inequalities between a difference seminorm and the $L_p$-norm of the gradient are found.

研究动机与目标

• 研究多维欧几里得区域中等容积常数与等周常数之间的等价性。
• 推导涉及调和容量的精确积分不等式，这些不等式蕴含第一 Dirichlet-Laplace 特征值的 Faber-Krahn 性质。
• 建立差分半范数与梯度的 $L_p$-范数之间不等式成立的必要与充分条件。
• 通过等周与等容积条件，刻画涉及乘积空间上测度的广义 Poincaré 型不等式成立的条件。

提出的方法

• 构造一个反例，表明即使在关于一个球星形的区域中，等容积常数与等周常数也不等价。
• 利用相对调和容量 $\mathrm{cap}(F;\Omega)$ 和 $L_2$-Rayleigh 商，对第一 Dirichlet 特征值 $\Lambda(\Omega)$ 建立了双侧估计。
• 通过 $H_{n-1}(\partial g)/m_n(g)$ 定义的等周常数 $\gamma(\Omega)$，证明 $\gamma(\Omega)^2 \leq 4\Gamma(\Omega)$，其中 $\Gamma(\Omega)$ 是等容积常数。
• 通过新型等周与等容积不等式，推导不等式 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$ 成立的必要与充分条件。
• 在一维情形下，给出一个涉及测度 $\nu''$ 的判别条件，以及条件 $\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$。
• 通过容量表征 $\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega) = \inf \{ \langle u \rangle_{p,\mu}^p : u \geq 1 \text{ on } F \} $，推导出迹型不等式成立的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于关于一个球星形的区域，等容积常数与等周常数是否等价？
• RQ2 不等式 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$ 成立的必要与充分条件是什么？
• RQ3 对于一般 $\mu$，能否将一般等容积条件 $\sup_F \frac{\nu(F)^{p/q}}{\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega)} < \infty$ 替换为仅涉及球体的条件？
• RQ4 迹不等式 $\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$ 的精确条件是什么？
• RQ5 判别条件 (i)–(iii) 与 $\mu$ 由 $|x-y|^{-n-p\alpha}dx\,dy$ 给出的广义差分半范数不等式之间有何关系？

主要发现

• 等容积常数与等周常数不等价，即使在关于一个球星形的区域中，这一结论通过反例得到验证。
• 不等式 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$ 成立当且仅当满足一种新型等周或等容积不等式，具体取决于 $q \geq p = 1$ 或 $q > p > 1$。
• 对于 $u \in C_0^\infty(\mathbb{R})$，若 $\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$ 对 $\alpha, \beta, r$ 一致成立，则不等式成立。
• 条件 $K < \infty$，其中 $K = \int_0^\infty s^{p-1} |\nu'(s)| ds$，对不等式 $\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} |u(t)-u(\tau)|^p \nu''(t-\tau) dt d\tau \leq C \int_{\mathbb{R}} |u'(t)|^p dt$ 是精确的。
• 当 $\mu(dx,dy) = |x-y|^{-n-p\alpha} dx dy$，且 $0 < \alpha < 1$ 与 $\alpha p < n$ 时，不等式 (81) 成立当且仅当 $\sup_{x,\rho} \frac{\nu(B(x,\rho))^{p/q}}{\rho^{n-p\alpha}} < \infty$。
• 在该 $\mu$ 下，迹不等式 $\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$ 与 (81) 等价，并由涉及 dyadic 方块、Riesz 位势与弱型估计的判别条件 (i)–(iii) 所刻画。