[论文解读] Integral Canonical Models of Shimura Varieties of Preabelian Type

Adrian Vasiu|ArXiv.org|Jul 8, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文通过引入并分析戴德金环上正则概形的“健康”与“非常健康”概念，特别是在混合特征情形下，建立了预阿贝尔型自守品种积分典范模型存在的条件。证明了平展与pro-平展覆盖保持健康正规概形性质，并利用韦伊限制与下降技术提供了正则概形为健康的判定准则。

ABSTRACT

We prove the existence of integral canonical models of Shimura varieties of preabelian type with respect to primes of characteristic at least 5.

研究动机与目标

• 定义并刻画戴德金环上（尤其在混合特征下）的“健康”与“非常健康”正则概形。
• 研究健康概形性质在局部化、完备化及通过离散赋值环的拉回下的稳定性。
• 利用韦伊限制与下降技术，建立阿贝尔概形在健康正规概形上延拓的条件。
• 确定平展或pro-平展覆盖在何种条件下保持健康正规概形性质。
• 提供健康但非非常健康的正则概形的例子，尤其在方程 $ x^l + y^2 + z^2 + p = 0 $ 定义的奇点背景下。

提出的方法

• 使用‘可延拓对’ $ (Y, U) $ 的概念，研究阿贝尔概形在开子概形上的延拓。
• 应用数域扩张的韦伊限制，将平展覆盖 $ Y_1 o Y $ 上的阿贝尔概形延拓至基概形 $ Y $，前提是 $ Y $ 是健康的。
• 运用下降理论，将定义在概形一般点上的阿贝尔簇在适当条件下提升至开子概形。
• 应用经典纯度定理，证明若一个积分的、几乎健康的正则概形具有平凡基本群，则其为健康概形。
• 分析完成形式为 $ ext{Spec}(W(k)[[x,y,z]]/(x^l + y^2 + z^2 + p)) $ 的局部概形，构造出健康但非非常健康的正则概形的例子。
• 依赖局部环在正特征下的形式光滑性与忠实平坦性，验证健康性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，戴德金环上的正则概形被视为‘健康’或‘非常健康’？
• RQ2 健康正规概形性质在平展或pro-平展态射下是否可下降或上行？
• RQ3 若基概形为健康概形，能否将定义在概形开子概形上的阿贝尔概形延拓至整个概形？
• RQ4 是否存在健康但非非常健康的正则概形？若存在，如何构造？
• RQ5 在基本群平凡的前提下，‘几乎健康’性质在多大程度上蕴含‘健康’性质？

主要发现

• 任何在 $ O $ 上形式光滑且满足 $ e < p-1 $ 的正则概形均为健康正则概形。
• 若一个正则概形为几乎健康且其第一基本群平凡，则其必为健康概形，此结论由经典纯度定理得出。
• 平展覆盖保持健康正规概形性质：若 $ Y $ 为健康正规概形，且 $ q: Y_1 o Y $ 为平展态射，使得 $ (Y_1, q^{-1}(U)) $ 可延拓，则 $ Y_1 $ 亦为健康概形。
• 在与平展覆盖相同的条件下，pro-平展覆盖也保持健康正规概形性质。
• 存在健康但非非常健康的正则概形，例如局部概形 $ ext{Spec}(W(k)[[x,y,z}}/(x^l + y^2 + z^2 + p)) $，其中 $ l > p > 3 $，$ k $ 为特征 $ p $ 的完美域。
• 抽象的非常健康正则概形类在局部化、完备化、形式光滑性及混合特征下具有相等分歧指数的离散赋值环之间的环同态拉回下保持稳定。