[论文解读] Integral criteria for Strong Renewal Theorems with infinite mean

Zhiyi Chi|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过基于加权积分 $\omega(x) = xF(x+I)/\overline{F}(x)$ 的精细概率方法，建立了稳定分布吸引域中具有无限均值的强更新定理（SRTs）的积分准则。该研究显著弱化了以往工作的充分条件，统一处理了 $\alpha \in (1/2,1)$ 的情形，并扩展至 $\alpha \in (0,1/2]$，在某些情况下给出了必要且充分的条件。

ABSTRACT

Let $F$ be a probability measure on $\mathbb{R}$ in the domain of attraction of a stable law with exponent $α\in (0, 1)$. We establish integral criteria on $F$ that significantly expand the probabilistic approach to Strong Renewal Theorems (SRTs). The criterion for $α\in (0,1/2]$ is much weaker than currently available ones and in some cases provides sufficient and necessary conditions for the SRT. The criterion for $α\in (1/2, 1)$ establishes the SRT in full generality and in a unified way, barring the Limit Local Theorems employed. As an application, for infinitely divisible $F$, an integral criterion on its Lévy measure is established for the SRT. As another application, for $F$ in the domain of attraction of a stable law without centering, an integral criterion on $F$ is established for the SRT for the ladder height process of a random walk with step distribution $F$.

研究动机与目标

• 将强更新定理（SRTs）的概率方法扩展至稳定指数 $\alpha \in (0,1)$ 的无限均值分布的吸引域。
• 弱化现有对分布尾部行为的积分条件，以保证 SRT 成立，特别是针对 $\alpha \in (0,1/2]$ 的情形。
• 通过基于 $\omega(x)$ 的新积分准则，统一处理 $\alpha \in (1/2,1)$ 和 $\alpha \in (0,1/2]$ 的 SRT。
• 通过其 Lévy 测度建立无穷可分分布的 SRT 准则，并针对随机游动步长分布为 $F$ 的首达水平过程建立 SRT 准则。

提出的方法

• 引入新的积分泛函 $K_{\eta}(x,T) = \int_{(1-\eta)x}^{x} [\omega(y) - T]^+ dy$，其中 $\eta \in (0,1)$，以推广先前的准则。
• 利用定理 2.1 对更新测度的‘小-n’部分建立紧致界，以控制更新过程的尾部行为。
• 使用函数 $\omega(x) = xF(x+I)/\overline{F}(x)$ 作为控制尾部行为和大偏差的关键变量。
• 应用 Potter 定理和正常变体理论，分析满足 $V(T(x)) = b(x)V(x)$ 的 $T(x)$ 的渐近行为，其中 $V \in \mathcal{R}_{\alpha+\beta}$。
• 利用局部大偏差估计和 Riemann 和逼近，控制具有大增量路径的贡献。
• 通过 $U(x+I)$ 的分解，结合局部极限定理和新的积分准则，统一控制小-n 和大-n 的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \in (0,1/2]$ 且均值为无限时，$F$ 的何种积分条件可保证强更新定理成立？
• RQ2 能否通过弱于 $\omega(x)$ 一致有界的条件，将 SRT 的概率方法扩展至 $\alpha \in (0,1/2]$？
• RQ3 是否存在一个统一的积分准则，能同时适用于 $\alpha \in (1/2,1)$ 和 $\alpha \in (0,1/2]$？
• RQ4 对无穷可分分布的 Lévy 测度，何种积分条件可保证 SRT 成立？
• RQ5 对于步长分布 $F$ 属于稳定分布吸引域（无需中心化）的随机游动的首达水平过程，能否建立 SRT？

主要发现

• 对于 $\alpha \in (0,1/2]$，本文给出的积分条件显著弱于以往结果，且在某些情况下，该条件既是必要又是充分的。
• 对于 $\alpha \in (1/2,1)$，新准则以统一方式在一般情形下确立了 SRT，仅在使用极限局部极限定理时存在例外。
• 基于 $K_\eta(x,T)$ 且 $\eta < 1$ 的积分准则，严格弱于先前工作中使用的 $K_1(x,T)$ 准则，从而具备更广泛的应用范围。
• 对于无穷可分的 $F$，推导出其 Lévy 测度的积分条件，确保 SRT 成立，从而将定理的适用范围扩展至该类分布。
• 对于不需中心化的稳定分布吸引域中的 $F$，建立了首达水平过程 SRT 的 $F$ 的积分准则。
• 本文证明了当 $\delta \to 0$ 时，$R_{T,\eta,r,c_1,c_2}(x,\delta) = o(1)$，这表明小-n 贡献趋于零，是证明新准则下 SRT 的关键步骤。