[论文解读] Integral equienergetic non-isospectral Cayley graphs

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Graph theory and applications被引用 1

一句话总结

该论文证明了对于任意阿贝尔群 $G$ 和对称子集 $S$，Cayley 图 $X(G,S)$ 及其补图 $X^+(G,S)$ 是等能量图；并进一步表明在温和条件下，这些图是非同谱的、整数的、连通的且非二分图。论文还刻画了涉及酉Cayley图 $G_R$、广义Paley图 $\Gamma(k,q)$ 及其补图的等能量非同谱三元组，包括所有图均为Ramanujan图的情形。

ABSTRACT

We prove that the Cayley graphs $X(G,S)$ and $X^+(G,S)$ are equienergetic for any abelian group $G$ and any symmetric subset $S$. We focus on two subfamilies: unitary Cayley graphs $G_R=X(R,R^*)$, where $R$ is a commutative ring, and semiprimitive generalized Paley graphs $\Gamma(k,q) = X(\mathbb{F}_q,\{ x^k : x^k \in \mathbb{F}_q^*\})$. We prove that under mild conditions, $\{ G_R, G_R^+ \}$ and $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q)\}$ are pairs of equienergetic non-isospectral graphs (generically integral, connected and non-bipartite). Then, we obtain conditions such that $\{G_R, \bar G_R\}$ and $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ are equienergetic non-isospectral graphs. Finally, we characterize all (integral) equienergetic non-isospectral triples $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ and $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ such that all the graphs are also Ramanujan.

研究动机与目标

• 建立阿贝尔群的Cayley图与其补图之间的等能量性质。
• 确定这些等能量图在何种条件下是非同谱的、整数的、连通的且非二分图。
• 将分析扩展至酉Cayley图 $G_R$ 和半初等广义Paley图 $\Gamma(k,q)$，证明其等能量非同谱对的存在性。
• 确定 $\{G_R, \bar G_R\}$ 和 $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ 构成等能量非同谱图对的条件。
• 全面刻画涉及 $G_R$、$G_R^+$、$\bar G_R$ 和 $\Gamma(k,q)$、$\Gamma^+(k,q)$、$\bar \Gamma(k,q)$ 的所有整数等能量非同谱三元组，且这些图同时为Ramanujan图。

提出的方法

• 利用群论构造方法定义阿贝尔群 $G$ 和对称子集 $S$ 的Cayley图 $X(G,S)$ 及其补图 $X^+(G,S)$。
• 应用谱图论比较能量与特征值，通过迹和特征值和的恒等式建立等能量性质。
• 聚焦于交换环 $R$ 上的酉Cayley图 $G_R = X(R, R^*)$ 和广义Paley图 $\Gamma(k,q) = X(\mathbb{F}_q, \{x^k : x^k \in \mathbb{F}_q^*\})$。
• 推导出关于 $R$ 和 $q,k$ 的条件，使得 $G_R$ 与 $G_R^+$，或 $\Gamma(k,q)$ 与 $\Gamma^+(k,q)$，为非同谱但等能量图。
• 利用数论与环论性质分析图的整数性与Ramanujan性质。
• 系统性刻画三元组 $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ 和 $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$，其中三个图均为整数、等能量、非同谱且为Ramanujan图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阿贝尔群 $G$ 与对称子集 $S$ 的Cayley图 $X(G,S)$ 与 $X^+(G,S)$ 是等能量图？
• RQ2 在何种条件下，等能量对 $\{G_R, G_R^+\}$ 与 $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q)\}$ 为非同谱、整数、连通且非二分图？
• RQ3 在何种条件下，$\{G_R, \bar G_R\}$ 与 $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ 构成等能量非同谱图对？
• RQ4 在 $G_R$、$G_R^+$、$\bar G_R$ 和 $\Gamma(k,q)$、$\Gamma^+(k,q)$、$\bar \Gamma(k,q)$ 的图族中，哪些整数图同时为Ramanujan图？
• RQ5 涉及 $G_R$、$G_R^+$、$\bar G_R$ 和 $\Gamma(k,q)$、$\Gamma^+(k,q)$、$\bar \Gamma(k,q)$ 的等能量非同谱整数三元组是否存在完整刻画？

主要发现

• 对于任意阿贝尔群 $G$ 和对称子集 $S$，Cayley图 $X(G,S)$ 与 $X^+(G,S)$ 均为等能量图。
• 在交换环 $R$ 的温和条件下，酉Cayley图 $G_R = X(R, R^*)$ 与其补图 $G_R^+$ 构成等能量非同谱对。
• 当 $k$ 与 $q$ 满足特定数论约束时，半初等等价广义Paley图 $\Gamma(k,q)$ 及其补图 $\Gamma^+(k,q)$ 为等能量且非同谱图。
• 在适当的 $R$ 与 $q,k$ 条件下，对 $\{G_R, \bar G_R\}$ 与 $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ 均为等能量且非同谱图。
• 所有整数等能量非同谱三元组 $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ 与 $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ 均被完全刻画，且三元组中所有图均为Ramanujan图。