[论文解读] Integral formulas for a Riemannian manifold with several orthogonal complementary distributions

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文将黎曼流形上两个正交分布的积分曲率公式推广至 $k > 2$ 个正交且互补的分布情形。通过推导涉及混合标量曲率、第二基本形式、平均曲率向量及可积性张量的散度公式，作者建立了一个在紧致流形上消失的新积分恒等式，推广了 $k=2$ 时的已知结果，并可应用于分裂定理、等距浸入及具有常重数主曲率的超曲面等问题。

ABSTRACT

In the paper we prove integral formulae for a Riemannian manifold endowed with $k>2$ orthogonal complementary distributions, which generalize well-known formula for $k=2$ and give applications to splitting and isometric immersions of Riemannian manifolds, in particular, multiply warped products, and to hypersurfaces with $k>2$ distinct principal curvatures of constant multiplicities.

研究动机与目标

• 将已知的关于黎曼流形上两个正交分布的积分公式推广至 $k > 2$ 个正交且互补分布的情形。
• 推导一个涉及混合标量曲率、第二基本形式、平均曲率向量及分布可积性张量的散度公式。
• 将新公式应用于黎曼几何中的整体问题，包括分裂定理、等距浸入，以及具有 $k>2$ 个不同主曲率且重数恒定的超曲面。
• 在紧致流形上建立一个消失的积分恒等式，推广 $k=2$ 的情形，并实现基于曲率的分类。

提出的方法

• 将混合标量曲率 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$ 定义为由不同分布中向量张成的平面的截面曲率之和。
• 为每个分布 $\mathcal{D}_i$ 引入第二基本形式 $h_i$、平均曲率向量 $H_i$ 及可积性张量 $T_i$。
• 推导平均曲率向量之和 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$ 的散度公式，其等于混合标量曲率加上 $h_i$、$H_i$ 和 $T_i$ 的二次型项。
• 对散度表达式应用斯托克斯定理，在紧致流形上得到一个消失的积分。
• 将一般公式特化到空间形式 $\bar{M}(c)$ 中具有 $k=3$ 个不同主曲率且重数恒定的超曲面情形。
• 使用与分布相适应的正交标架，以主曲率函数 $\mu_i$ 的梯度表示 $h_i$、$H_i$ 和 $T_i$ 的范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼流形上两个正交分布的积分公式能否推广至 $k > 2$ 个正交且互补分布的情形？
• RQ2 在 $k$-乘积结构中，所有分布及其两两组合的平均曲率向量之和的散度为何？
• RQ3 在 $k>2$ 情形下，混合标量曲率如何与第二基本形式、平均曲率及可积性张量相关联？
• RQ4 在紧致流形上，散度表达式的积分消失会带来哪些整体几何后果？
• RQ5 该公式对具有 $k>2$ 个不同主曲率且重数恒定的超曲面有何影响？

主要发现

• 平均曲率向量之和 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$ 的散度等于混合标量曲率 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$ 加上 $h_i$、$H_i$ 和 $T_i$ 的二次型项，从而在紧致流形上导致积分消失。
• 对于具有 $k=3$ 个分布的紧致超曲面，在空间形式 $\bar{M}(c)$ 中，积分 $\sum_{i<j} n_i n_j (c + \mu_i \mu_j) + 2\sum_i n_i(1-n_i)\left(\frac{\|P_j \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_j)^2} + \frac{\|P_l \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_l)^2}\right)$ 消失。
• 该公式推广了 $k=2$ 的情形，结构相同但扩展至 $k>2$ 个分布及其两两相互作用。
• 消失的积分意味着强的全局约束：若被积函数正定，则不存在此类紧致流形，从而对某些叶状结构或浸入问题给出非存在性结果。
• 在具有三个不同主曲率且重数恒定的超曲面情形下，公式导出一个涉及曲率函数梯度的曲率-几何恒等式。
• 由于对三个两两组合的对称抵消，总和 $\sum_{i<j} (\|h_{ij}|_{V_{ij}}\|^2 - \|T_{ij}|_{V_{ij}}\|^2)$ 消失，从而简化了整体表达式。