[论文解读] Integral Iwasawa theory of Galois representations for non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文为非典型素数处的伽罗华表示发展了一套积分Iwasawa理论，通过在局部Iwasawa上同调上构造带符号的Coleman映射，定义了积分p进L函数与余挠Selmer群。在显式互惠猜想下，证明了带符号主猜想的一个包含关系，将Kobayashi的±-理论推广至CM或完全实数域上具有Hodge-Tate权0或1的动机。

ABSTRACT

In this paper, we study the Iwasawa theory of a motive whose Hodge-Tate weights are $0$ or $1$ (thence in practice, of a motive associated to an abelian variety) at a non-ordinary prime, over the cyclotomic tower of a number field that is either totally real or CM. In particular, under certain technical assumptions, we construct Sprung-type Coleman maps on the local Iwasawa cohomology groups and use them to define integral $p$-adic $L$-functions and (one unconditionally and other conjecturally) cotorsion Selmer groups. This allows us to reformulate Perrin-Riou's main conjecture in terms of these objects, in the same fashion as Kobayashi's $\pm$-Iwasawa theory for supersingular elliptic curves. By the aid of our theory of Coleman-adapted Kolyvagin systems that we develop here, we deduce parts of Perrin-Riou's main conjecture from an explicit reciprocity conjecture.

研究动机与目标

• 将Kobayashi的±-Iwasawa理论推广至具有Hodge-Tate权0或1的非典型伽罗华表示。
• 通过Sprung型Coleman映射，在非典型情形下定义积分p进L函数与余挠Selmer群。
• 将Perrin-Riou的主猜想重新表述为这些新积分对象的带符号主猜想形式。
• 通过Coleman适配的Kolyvagin系建立主猜想与显式互惠猜想之间的联系。
• 将Pollack的±-理论从椭圆曲线推广至更高维阿贝尔簇与动机。

提出的方法

• 利用Dieudonné模基与对数矩阵，在局部Iwasawa上同调群上构造带符号Coleman映射。
• 将Beilinson-Kato元在这些Coleman映射下的像定义为积分p进L函数。
• 引入一个新的Selmer复形，其局部条件定义为Coleman映射核的正交补。
• 应用Coleman适配的Kolyvagin系理论，将p进L函数与主猜想联系起来。
• 利用显式互惠猜想推导出带符号主猜想的一个包含关系。
• 通过证明其与Pollack的±-p进L函数在符号上一致，建立与经典情形的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有Hodge-Tate权0或1的动机背景下，能否为非典型伽罗华表示构造带符号的Coleman映射？
• RQ2 如何利用此类Coleman映射在非典型情形下定义积分p进L函数？
• RQ3 Perrin-Riou的主猜想是否等价于以这些新积分对象表述的带符号主猜想？
• RQ4 Coleman适配的Kolyvagin系理论是否允许从显式互惠猜想推导出主猜想的一部分？
• RQ5 该框架在多大程度上将Kobayashi的±-理论从椭圆曲线推广至更广范围？

主要发现

• 本文为满足特定技术条件的一类p进伽罗华表示，在局部Iwasawa上同调群上构造了带符号Coleman映射。
• 在显式互惠猜想下，定义了积分p进L函数，并证明了带符号主猜想的一个包含关系。
• 在椭圆曲线具有上奇异约化且a_p = 0的情形下，所构造的p进L函数与Pollack的±-p进L函数在符号上一致。
• 通过Coleman映射核定义的Selmer群在椭圆曲线情形下，与Kobayashi的±-Selmer群同构。
• Coleman适配的Kolyvagin系理论使得能够从显式互惠猜想推导出主猜想的包含关系。
• 该框架将Kobayashi与Pollack的±-Iwasawa理论推广至在p处具有非典型约化的阿贝尔簇相关动机。