[论文解读] Integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文计算了任意维数的p进域上Drinfeld对称空间的积分p进étale上同调，改进了早期的有理p进上同调结果。通过使用Ainf上同调与积分p进比较定理——特别是导出Nakayama引理以及Ainf上同调与邻近上同调的相容性——本文证明了上同调群同构于广义Steinberg表示的对偶，且给出了显式的拓扑G × GK-模同构。关键结果是完整地以这些表示描述了积分上同调，将先前的工作推广到了积分情形。

ABSTRACT

We compute the integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces of any dimension. This refines the computation of the rational $p$-adic \'etale cohomology from Colmez-Dospinescu-Nizio{\l}. The main tools are: the computation of the integral de Rham cohomology from CDN and the integral $p$-adic comparison theorems of Bhatt-Morrow-Scholze and \v{C}esnavi\v{c}ius-Koshikawa which replace the quasi-integral comparison theorem of Tsuji used in CDN.

研究动机与目标

• 将Drinfeld对称空间的有理p进étale上同调计算推广至积分情形。
• 计算所有 $ i \geq 0 $ 与维数 $ d $ 的积分p进étale上同调群 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $。
• 在这些上同调群与广义Steinberg表示的对偶 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 之间建立拓扑 $ G \times G_K $-模同构。

提出的方法

• 在Drinfeld对称空间 $ X = H^d_C $ 的étale范畴上使用Fontaine的 $ A_{\inf} $-环与相对pro-étale上同调构造Ainf上同调复形 $ A\Omega_X $。
• 应用Bhatt-Morrow-Scholze与Česnavičius-Koshikawa的积分p进比较定理，将 $ A\Omega_X $ 与de Rham及étale上同调联系起来。
• 利用导出Nakayama引理，将证明 $ A_{\inf} $-上同调中同构的问题约化为模 $ \tilde{\xi} $ 的验证，借助Hodge-Tate特殊化。
• 构造一个étale示踪映射 $ r_{\text{ét}}: \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $，其可提升为 $ A_{\inf} $-线性映射 $ r_{\inf} $ 到 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $。
• 使用将p进邻近上同调与 $ A\Omega_X $-上同调联系起来的正合列：$ 0 \to H^{i-1}_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})/(1 - \phi^{-1}) \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) \to H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} \to 0 $。
• 证明 $ A_{\inf} $-上同调群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 同构于 $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $，利用示踪映射与Hodge-Tate特殊化的相容性以及de Rham复形的消去性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Drinfeld对称空间维数为 $ d $ 时，积分 $ p $-adic étale上同调 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ 的结构是什么？
• RQ2 积分p进上同调如何与 $ A_{\inf} $-上同调及半稳定模型的de Rham上同调相关联？
• RQ3 导出Nakayama引理能否在p进Hodge理论中有效用于证明积分同构？
• RQ4 $ A_{\inf} $-上同调复形 $ A\Omega_X $ 在计算非准紧概形的p进étale上同调中起什么作用？
• RQ5 $ \phi^{-1} $-等变性如何与广义Steinberg表示的结构相关？

主要发现

• 作为拓扑 $ G \times G_K $-模，积分 $ p $-adic étale上同调 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ 同构于广义Steinberg表示 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 的对偶。
• $ A_{\inf} $-上同调群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 同构于 $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $，且具有 $ \phi^{-1} $-等变性。
• $ A_{\inf} $-上同调模 $ \tilde{\xi} $ 的约化同构于Hodge-Tate上同调 $ H^0_{\text{ét}}(X, \Omega^i_X) $，且该同构与示踪映射相容。
• 目标上同调群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 是 $ \tilde{\xi} $-挠自由的，这意味着导出完备化与约化是相容的。
• 邻近上同调正合列表明 $ H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $ 同构于 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} $，而后者同构于 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $。
• 当 $ i > d $ 时，所有上同调群 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $、$ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{F}_p(i)) $ 与 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Q}_p(i)) $ 均为零，确认了高阶中预期的消失性。