[论文解读] Integral-Partial Differential Equations of Isaacs' Type Related to Stochastic Differential Games with Jumps

Rainer Buckdahn, Ying Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文建立了动态规划原理，并证明了在带跳的零和随机微分博弈中，尽管由于路径依赖控制导致代价泛函为随机变量，上值函数和下值函数仍为确定性函数。通过带跳的倒向随机微分方程（BSDEs）以及在维纳-泊松空间上的新变换，作者证明了这些值函数是哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊斯盖斯型积分-偏微分方程的唯一粘性解，且当满足伊斯盖斯条件时，博弈的值存在。

ABSTRACT

In this paper we study zero-sum two-player stochastic differential games with jumps with the help of theory of Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs). We generalize the results of Fleming and Souganidis [10] and those by Biswas [3] by considering a controlled stochastic system driven by a d-dimensional Brownian motion and a Poisson random measure and by associating nonlinear cost functionals defined by controlled BSDEs. Moreover, unlike the both papers cited above we allow the admissible control processes of both players to depend on all events occurring before the beginning of the game. This quite natural extension allows the players to take into account such earlier events, and it makes even easier to derive the dynamic programming principle. The price to pay is that the cost functionals become random variables and so also the upper and the lower value functions of the game are a priori random fields. The use of a new method allows to prove that, in fact, the upper and the lower value functions are deterministic. On the other hand, the application of BSDE methods [18] allows to prove a dynamic programming principle for the upper and the lower value functions in a very straight-forward way, as well as the fact that they are the unique viscosity solutions of the upper and the lower integral-partial differential equations of Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs' type, respectively. Finally, the existence of the value of the game is got in this more general setting if Isaacs' condition holds.

研究动机与目标

• 将弗莱明与苏加尼迪斯关于随机微分博弈的框架扩展至包含跳跃和路径依赖控制的情形。
• 解决当控制依赖于整个过去轨迹时，代价泛函变为随机变量的挑战，并证明值函数仍保持确定性。
• 在使用BSDE方法的通用设定下，建立带跳跃的动态规划原理。
• 证明上值函数与下值函数是伊斯盖斯型积分-偏微分方程的唯一粘性解。
• 在该扩展框架下，证明当满足伊斯盖斯条件时，博弈的值存在。

提出的方法

• 引入一种双重控制的带跳倒向随机微分方程（BSDE），以建模非线性代价泛函。
• 在维纳-泊松空间上应用新变换，以证明尽管存在路径依赖控制，值函数仍保持确定性。
• 使用彭所提出的随机倒向半群方法，简化动态规划原理的证明。
• 通过比较定理及近似技术（例如通过划分和停时）处理粘性解的性质。
• 将上值函数与下值函数导出为哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊斯盖斯型积分-偏微分方程的解。
• 通过值函数的确定性性质，证明在满足伊斯盖斯条件时博弈的值存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制依赖于整个过去轨迹时，能否在带跳的随机微分博弈中建立动态规划原理？
• RQ2 即使由于路径依赖控制导致代价泛函为随机变量，上值函数与下值函数是否仍保持确定性？
• RQ3 能否使用带跳的BSDE方法，在该扩展框架中推导出动态规划原理与粘性解？
• RQ4 如何构造维纳-泊松空间上的新变换，以在存在跳跃的情况下保持值函数的确定性？
• RQ5 在该广义设定下，带跳的随机微分博弈的值在何种条件下存在？

主要发现

• 尽管由于路径依赖控制导致代价泛函为随机变量，上值函数与下值函数仍为确定性函数。
• 在包含跳跃和路径依赖控制的扩展框架中，上值函数与下值函数的动态规划原理成立。
• 上值函数与下值函数是相应哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊斯盖斯型积分-偏微分方程的唯一粘性解。
• 当满足伊斯盖斯条件时，博弈的值存在，因为上值函数与下值函数重合。
• 通过使用带跳的BSDE与维纳-泊松空间上的新变换，实现了动态规划原理与粘性解性质的简化证明。
• 该结果在统一且严谨的框架下，将弗莱明与苏加尼迪斯以及比斯瓦斯的前期工作推广至包含跳跃与路径依赖控制的情形。