[论文解读] Integral right triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Mathematics and Applications参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文利用椭圆曲线理论，证明了存在无穷多组具有相同面积和周长的整数边直角三角形与θ-整数菱形。通过将丢番图方程组转化为一个秩为1的椭圆曲线，作者展示了有理数解通过齐次性与有理参数化，可生成无穷多组此类组合。

ABSTRACT

We prove that there are infinitely many integral right triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter by the theory of elliptic curves.

研究动机与目标

• 研究是否存在无穷多组具有相同面积和周长的整数边直角三角形与菱形。
• 通过引入θ-整性（即菱形内角的正弦与余弦为有理数）这一更严格的几何约束，扩展先前关于直角三角形与平行四边形对的研究结果。
• 探讨有理角（正弦与余弦均为有理数）在构造此类几何图形对中的作用。
• 建立丢番图方程组与椭圆曲线上有理点之间的联系，以实现数论性几何构造。

提出的方法

• 使用参数u（0 < u < 1）的标准化毕达哥拉斯三元组公式对有理直角三角形进行参数化。
• 利用边长p与角度θ（其中sinθ与cosθ为有理数）对θ-整数菱形进行建模，通过参数v（0 < v < 1）进行参数化。
• 推导出使直角三角形与菱形面积和周长相等的丢番图方程组。
• 从方程组中消去p，得到关于u与v的二元二次丢番图方程。
• 应用双有理变换，将该丢番图方程映射为椭圆曲线E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x。
• 使用Magma计算E(Q)的Mordell-Weil群，确认其秩为1，生成元为P = (0, 0)，并存在一个2阶挠点T = (−4, 0)。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多组具有相同面积和周长的整数边直角三角形与θ-整数菱形？
• RQ2 能否通过代数几何与椭圆曲线上有理点的存在性来确立此类图形对的存在性？
• RQ3 θ-整性（即菱形内角的正弦与余弦为有理数）在促成此类几何巧合中起到何种作用？
• RQ4 由面积与周长相等条件导出的丢番图方程组是否在指定范围内有无穷多组有理数解？

主要发现

• 椭圆曲线E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x的Mordell-Weil群E(Q)的秩为1，由P = (0, 0)生成，且在(−4, 0)处存在一个2阶挠点。
• 点[4]P = (5920/4761, 5576768/328509)通过逆变换映射为有理数解(u, v) = (552/1105, 483/1264)，满足0 < u, v < 1。
• 该解给出一个具体实例：直角三角形三边为1832642、2439840、3051458，菱形边长为1830985，锐角为arcsin(1221024/1830985)，两者面积均为2235676628640，周长均为7323940。
• 根据引理2.1（Poincaré-Hurwitz），由于E(Q)为无限群且在相关区域内包含一个有理点，因此丢番图方程组在0 < u, v < 1范围内有无穷多组有理数解(u, v)。
• 边长的齐次性保证了有理数解可生成无穷多组具有相同面积与周长的整数边直角三角形与θ-整数菱形对。
• 结果证实，即使在更严格的θ-整性条件下，此类图形对也存在无穷多组，从而扩展了先前关于平行四边形与矩形的研究成果。