[论文解读] Integral structures in the $p$-adic holomorphic discrete series

Elmar Große-Klönne|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文构造了在德林费尔德对称空间 $X$ 上的 $p$-进解析离散系列表示中的 $τ_{d+1}(K)$-等变 $ϴ_K$-格 $ρ_{ϴ_K}$，证明了在某一类表示中，其上同调在正度数上为零。该构造依赖于形式模型 $Τ$ 上的环道等变层，并利用退化技术，通过特殊纤维上的 $U(K)$-等变向量丛建立上同调消失定理。

ABSTRACT

For a local non-Archimedean field $K$ we construct ${ m GL}_{d+1}(K)$-equivariant coherent sheaves ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ on the formal ${\mathcal O}_K$-scheme ${\mathfrak X}$ underlying the symmetric space $X$ over $K$ of dimension $d$. These ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ are ${\mathcal O}_K$-lattices in (the sheaf version of) the holomorphic discrete series representations (in $K$-vector spaces) of ${ m GL}_{d+1}(K)$ as defined by P. Schneider \cite{schn}. We prove that the cohomology $H^t({\mathfrak X},{\mathcal V}_{{\mathcal O}_K})$ vanishes for $t>0$, for ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ in a certain subclass. The proof is related to the other main topic of this paper: over a finite field $k$, the study of the cohomology of vector bundles on the natural normal crossings compactification $Y$ of the Deligne-Lusztig variety $Y^0$ for ${ m GL}_{d+1}/k$ (so $Y^0$ is the open subscheme of ${\mathbb P}_k^d$ obtained by deleting all its $k$-rational hyperplanes).

研究动机与目标

• 在德林费尔德对称空间 $X$ 上的层论解析离散系列表示中，构造 $τ_{d+1}(K)$-等变 $ϴ_K$-格 $ρ_{ϴ_K}$。
• 在某一子类表示中，建立 $H^t(Τ, ρ_{ϴ_K})$ 关于 $t > 0$ 的上同调消失。
• 将先前 $d=1$ 的结果推广至任意 $d$，在 $p$-进设定下推广整结构。
• 将这些整结构的上同调与特殊纤维 $Τ \otimes k$ 上的 $U(K)$-等变向量丛联系起来。
• 为 $p$-进 Langlands 程序和算术子群的群上同调提供基础工具。

提出的方法

• 构造一个具有通用纤维 $X$（即德林费尔德对称空间）的 $ϴ_K$-代数 $\mathfrak{X}$，并赋予 $G = τ_{d+1}(K)$-作用。
• 使用 $G$-等变特化映射，将 $X$ 上的 $G$-等变向量丛 $\mathcal{V}$ 提升为 $\mathfrak{X}$ 上的凝聚层。
• 固定一个 $τ_d(\u03f4_K)$-稳定 $ϴ_K$-格 $V_0 \subset V$，其在环道 $T_1$ 作用下分解为权空间 $V_{0,\mu}$。
• 在 $Τ$ 的子集 $\mathfrak{Y}$ 上，定义 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}|_{\mathfrak{Y}}$ 为 $V_{0,\mu} \otimes \mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes \mathcal{O}_{\widehat{K}}$ 中的凝聚 $\mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathcal{O}_{\widehat{K}}$-格的直和，其滤子由权 $\mu$ 决定。
• 通过等变性与粘合，将层 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}|_{\mathfrak{Y}}$ 唯一延拓为 $\mathfrak{X}$ 全局的 $G$-稳定凝聚层。
• 分析特殊纤维 $\mathfrak{X} \otimes k$ 上的相应滤子层 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$，通过同构与挠商，将其与线丛 $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$ 的 $p$-进解析离散系列表示中构造 $G$-等变 $\mathcal{O}_K$-格？
• RQ2 在何种条件下，上同调 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_K})$ 对 $t > 0$ 为零？
• RQ3 特殊纤维 $\mathfrak{X} \otimes k$ 的结构是怎样的？$U(K)$-作用在滤子层 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ 上如何影响上同调消失？
• RQ4 退化技术与布饶特-蒂茨建筑上的系数系统如何与这些整层的上同调相关？
• RQ5 能否利用在分量上高阶上同调消失的性质，建立 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ 的基变换公式？

主要发现

• 在假设对所有 $1 \leq j \leq d$ 和所有满足 $V_\mu \neq 0$ 的权 $\mu$，有 $\overline{a}_j(\mu) \leq 0$ 的条件下，上同调 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}})$ 对所有 $t > 0$ 为零。
• 滤子层 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ 是 $U(K)$-等变的，其在特殊纤维 $k$ 上的基变换满足 $H^t(\mathfrak{X}, \mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) = 0$ 对所有 $t > 0$。
• 对 $\overline{\mu} \in X^*(\overline{T})$，层 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$ 在开子概形 $Y$ 上同构于线丛 $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$ 与 $V_{\mu,0} \otimes_{\mathcal{O}_K} k$ 的张量积。
• 对 $\overline{\mu} \notin X^*(\overline{T})$，还原层 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$ 同构于 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}} \mathcal{O}_Z$ 在 $F^0$ 中的分量 $Z \in F^0$ 上的无挠商。
• 通过布饶特-蒂茨建筑上的系数系统，利用命题 4.4 与 $U(K)$-等变性，证明了在所有分量交 $W \in F^s$ 上高阶上同调的消失。
• 基变换公式 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) \cong H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}) \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k$ 对 $t = 1$ 成立，且高阶消失性由 $t > 0$ 情况通过 $\pi^r$-乘法的正合列推出。