[论文解读] Integrals of Borcherds forms

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Oct 21, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 14

一句话总结

本文通过余(regularized) theta 上升和Eisenstein级数，推导出在正交Shimura簇上Borcherds形式的Arakelov理论积分的显式公式。关键结果将该积分表示为模形式的傅里叶系数与L-函数特殊值的加权和，其应用涵盖Heegner循环的高度及模三文鱼上的算术交点理论。

ABSTRACT

In his Inventiones papers in 1995 and 1998, Borcherds constructed holomorphic automorphic forms $Ψ(F)$ with product expansions on bounded domains $D$ associated to rational quadratic spaces $V$ of signature (n,2). The input $F$ for his construction is a vector valued modular form of weight $1-n/2$ for $SL_2(Z)$ which is allowed to have a pole at the cusp and whose non-positive Fourier coefficients are integers $c_μ(-m)$, $m\ge0$. For example, the divisor of $Ψ(F)$ is the sum over $m>0$ and the coset parameter $μ$ of $c_μ(-m) Z_μ(m)$ for certain rational quadratic divisors $Z_μ(m)$ on the arithmetic quotient $X = ΓD$. In this paper, we give an explicit formula for the integral $κ(Ψ(F))$ of $-\log||Ψ(F)||^2$ over $X$, where $||.||^2$ is the Petersson norm. More precisely, this integral is given by a sum over $μ$ and $m>0$ of quantities $c_μ(-m) κ_μ(m)$, where $κ_μ(m)$ is the limit as $Im(τ) -> \infty$ of the $m$th Fourier coefficient of the second term in the Laurent expansion at $s= n/2$ of a certain Eisenstein series $E(τ,s)$ of weight $n/2 + 1$ attached to $V$. It is also shown, via the Siegel--Weil formula, that the value $E(τ, n/2)$ of the Eisenstein series at this point is the generating function of the volumes of the divisors $Z_μ(m)$ with respect to a suitable Kähler form. The possible role played by the quantity $κ(Ψ(F))$ in the Arakelov theory of the divisors $Z_μ(m)$ on $X$ is explained in the last section.

研究动机与目标

• 计算正交Shimura簇上Borcherds形式的对数范数的Arakelov积分。
• 将该积分与Eisenstein级数和L-函数的特殊值联系起来。
• 建立该积分与Heegner循环算术高度之间的联系。
• 通过余theta上提，为正交Shimura簇上的算术交点理论提供一个框架。

提出的方法

• 使用余theta上提，将Borcherds形式的对数范数表示为对向量值模形式的余积分。
• 应用Siegel-Weil公式，将theta上提与权为 $ n/2 + 1 $ 的Eisenstein级数联系起来。
• 计算Eisenstein级数在 $ s = n/2 $ 处洛朗展开的第二项，通过Maass算子得到积分。
• 利用Borcherds工作中的Stokes定理，证明积分与正则化交换的合理性。
• 通过Eisenstein级数推导出循环度的生成级数，将傅里叶系数与Heegner除子的体积联系起来。
• 显式计算积分 $ \kappa(\Psi(f)) $ 为傅里叶系数 $ c_\mu(-m) $ 和特殊值 $ \kappa_\mu(m) $ 的和。

实验结果

研究问题

• RQ1 Borcherds形式在正交Shimura簇上的Arakelov积分 $ \kappa(\Psi(f)) = -\text{vol}(X)^{-1} \int_X \log \|\Psi(z,f)\|^2 d\mu(z) $ 的显式值是什么？
• RQ2 出现在积分公式中的系数 $ \kappa_\mu(m) $ 如何与L-函数的特殊值及对数项相关？
• RQ3 Borcherds形式的对数范数的积分能否表示为循环度与算术高度的线性组合？
• RQ4 是否存在一个在紧化商面上的模形式 $ D_B $，使得 $ \kappa_\mu(m) $ 对应于涉及 $ \log(y_r |D_B(z)|) $ 的高度型项？

主要发现

• 积分 $ \kappa(\Psi(f)) $ 由 $ \sum_{\mu} \sum_{m \geq 0} c_\mu(-m) \kappa_\mu(m) $ 给出，其中 $ \kappa_\mu(m) $ 通过Eisenstein级数在 $ s = n/2 $ 处洛朗展开的常数项与留数项定义。
• 当 $ n=5 $，$ M=\mathbb{Z}^5 $，且具有(3,2)型二次型时，对于 $ m > 0 $，有 $$ \kappa_\mu(m) = \zeta(-3)^{-1} H(2,4m) \left[ \frac{4}{3} + 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} - \frac{1}{2} \log d - \frac{L'(-1,\chi_d)}{L(-1,\chi_d)} + \sum_{p|n} \left( \log|n|_p - \frac{b'_p(n,-1)}{b_p(n,-1)} \right) \right] $$
• Siegel三文鱼中Humbert曲面 $ H_N $ 的度满足 $ \deg(H_N) = -\frac{1}{12} H(2,N) $，与van der Geer的结果一致。
• 该 $ \kappa(\Psi(f)) $ 的公式与一个涉及 $ \widehat{\omega} $ 的假设算术高度公式一致，其中 $ \kappa_\mu(m) $ 在猜想中与Heegner循环的高度 $ \widehat{h}(Z(m,\phi)) $ 相关。
• 在Siegel模形式 $ \Delta_5 $ 的情形下，积分值为 $$ 10 \left( -\frac{4}{3} - 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} + \frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)} + \frac{3}{2} \log 2 + \log \pi \right) - 7 \log 2 $$，与已知特殊值一致。
• 本文提出一个在紧化商面上的模形式 $ D_B $，使得 $ \kappa_\mu(m) $ 对应于 $ \sum_{z \in Z(m,\phi)} \log(y_r |D_B(z)| e^{-rC_0/2}) $，类似于非紧商面上Rohrlich的公式。