[论文解读] Integrals of groups

João Araüjo, Peter J‎. Cameron+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文研究了有限群和无限群的积分存在性与结构——即满足 H′ ≅ G 的群 H。证明了每个有限可积群都有有限积分，刻画了所有阶为 n 的群均可积的 n 的取值（即无立方因子且不存在不同的素因子 p, q 使得 q|(p−1) 的 n），并建立了阿贝尔群最小积分大小的界限。此外，还刻画了在有限群范畴中可 n 重积分的群为阿贝尔群与单群的中心积。

ABSTRACT

An $integral$ of a group $G$ is a group $H$ whose derived group (commutator subgroup) is isomorphic to $G$. This paper discusses integrals of groups, and in particular questions about which groups have integrals and how big or small those integrals can be. Our main results are: (1) If a finite group has an integral, then it has a finite integral. (2) A precise characterization of the set of natural numbers $n$ for which every group of order $n$ is integrable: these are the cubefree numbers $n$ which do not have prime divisors $p$ and $q$ with $q\mid p-1$. (3) An abelian group of order $n$ has an integral of order at most $n^{1+o(1)}$, but may fail to have an integral of order bounded by $cn$ for constant $c$. (4) A finite group can be integrated $n$ times (in the class of finite groups) if and only if it is the central product of an abelian group and a perfect group. There are many other results on such topics as centreless groups, groups with composition length $2$, and infinite groups. We also include a number of open problems.

研究动机与目标

• 确定哪些有限群与无限群存在积分（即存在满足 H′ ≅ G 的群 H）。
• 建立给定有限群最小积分大小的界限。
• 刻画在有限群范畴中可被 n 次积分的群。
• 探讨可积性与群结构之间的联系，包括合成长度、无中心群以及群的种类。
• 识别开放问题并为群论逆问题的未来研究指明方向。

提出的方法

• 使用群扩张理论与上同调工具分析积分的存在性及其性质。
• 应用有限群理论，包括合成列与主列，研究可积性条件。
• 通过雅可比积与中心扩张显式构造阿贝尔群的积分。
• 利用单群与中心积的相关结果，刻画 n 重可积群。
• 分析导出子群结构以及外自同构群在可积性中的作用。
• 运用计算群论概念与兼容 GAP 的算法，探索特定情形下的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些自然数 n，所有阶为 n 的群都是可积的？
• RQ2 给定有限群的积分最小可能阶是多少，特别是对阿贝尔群而言？
• RQ3 哪些有限群可对所有正整数 n 在有限群范畴中实现 n 次积分？
• RQ4 群 G 的可积性与其 Z(G) 的商群 G/Z(G) 或其他商群的可积性有何关联？
• RQ5 是否存在可判定算法，用于判断给定群（例如单 relator 群或有限表示群）是否可积？

主要发现

• 每个具有积分的有限群都有有限积分，解决了关于积分有限性的一个基础性问题。
• 阶为 n 的有限群可积当且仅当 n 是无立方因子的，且 n 的任意两个不同素因子 p, q 均不满足 q | (p−1)。
• 阶为 n 的阿贝尔群的最小积分阶为 n^{1+o(1)}，但不存在常数 c 使得其阶被 cn 所界定。
• 有限群可在有限群范畴中实现 n 次积分，当且仅当它是阿贝尔群与单群的中心积。
• 存在无限阿贝尔群，其不存在有限指数的积分，表明在无限情形下可积性并非总是成立。
• 本文识别出一类群（阿贝尔群与单群的中心积），它们正是在有限设定下可实现无限重积分的群。