[论文解读] Integrals of products of Hurwitz zeta functions via Feynman parametrization and two double sums of Riemann zeta functions

M. A. Shpot, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通过费曼参数化方法，提出了一种新颖的积分推导方法，涉及赫维茨zeta函数乘积的积分，避免了解析延拓。该文建立了 $ I(a,b) $ 和 $ J(a,b) $ 的闭式表达，并推导出两个涉及黎曼zeta函数的无限双重求和，当 $ a+b $ 为负整数或零时，给出了明确结果。

ABSTRACT

We consider two integrals over $x\in [0,1]$ involving products of the function $ζ_1(a,x)\equiv ζ(a,x)-x^{-a}$, where $ζ(a,x)$ is the Hurwitz zeta function, given by $$\int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,x)\,dx\quad\mbox{and}\quad \int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,1-x)\,dx$$ when $\Re (a,b)>1$. These integrals have been investigated recently in \cite{SCP}; here we provide an alternative derivation by application of Feynman parametrization. We also discuss a moment integral and the evaluation of two doubly infinite sums containing the Riemann zeta function $ζ(x)$ and two free parameters $a$ and $b$. The limiting forms of these sums when $a+b$ takes on integer values are considered.

研究动机与目标

• 通过费曼参数化方法，提供对涉及辅助赫维茨zeta函数 $ \zeta_1(a,x) $ 乘积的积分的替代推导。
• 在不依赖解析延拓的前提下，对 $ \Re(a,b) > 1 $ 情况下的积分 $ I(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x)\,dx $ 和 $ J(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x)\,dx $ 进行求值。
• 研究矩积分 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $，并利用其对两个涉及黎曼zeta函数的双重无穷双重求和进行求值。
• 确定当 $ a+b $ 为负整数或零时，这些双重求和的极限形式，从而得到闭式表达。

提出的方法

• 应用费曼参数化，将分母乘积转化为单重积分，从而简化 $ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x) $ 和 $ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x) $ 的求值。
• 使用积分表示 $ \frac{1}{A^a C^b} = \frac{1}{B(a,b)} \int_0^1 \frac{w^{b-1}(1-w)^{a-1}}{[A + w(C-A)]^{a+b}}\,dw $，将zeta函数乘积转化为便于积分的形式。
• 利用Wilton公式 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} \zeta(a+k,b) x^k = \zeta(a,b-x) $，将级数展开与zeta函数关联。
• 利用Beta函数 $ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} $ 及Pochhammer符号的性质，简化超几何函数与zeta函数项。
• 通过引入小参数 $ \epsilon $ 进行正则化，以处理当 $ a+b $ 为整数时的奇点，随后取极限 $ \epsilon \to 0 $。
• 利用黎曼zeta函数的已知特殊值，如 $ \zeta(-2m) = 0 $ 和 $ \zeta(-2m-1) = -\frac{B_{2m+1}}{2m+1} $，对负整数处的双重求和进行求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过费曼参数化方法，在不使用解析延拓的情况下对积分 $ I(a,b) $ 和 $ J(a,b) $ 进行求值？
• RQ2 当 $ a+b $ 为负整数时，双重求和 $ S_2(a,b) = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_j(b)_k}{j!k!(j+k+1)} \zeta(a+j)\zeta(b+k) $ 的闭式求值是什么？
• RQ3 当 $ a+b \to -2m $ 或 $ -2m-1 $ 时，双重求和的极限形式如何表现，其精确值是多少？
• RQ4 矩积分 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $ 在双重求和求值中起到什么作用？
• RQ5 在 $ \epsilon \to 0 $ 极限下，参数化过程中出现的超几何函数能否被简化？

主要发现

• 当 $ \Re(a,b) > 1 $ 时，积分 $ I(a,b) $ 的求值结果为 $ \frac{1}{a+b-1} + \left[ B(a+b-1,1-a) + B(a+b-1,1-b) \right] \zeta(a+b-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(1-b)_{n+1}} (\zeta(a+n)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{(1-a)_{n+1}} (\zeta(b+n)-1) $。
• 当 $ \Re(a,b) > 1 $ 时，积分 $ J(a,b) $ 的表达式为 $ B(1-a,1-b)(\zeta(a+b-1)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{n!} \frac{\zeta(a+n)-1}{n+1-b} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{n!} \frac{\zeta(b+n)-1}{n+1-a} $。
• 当 $ a+b = -2m $ 时，双重求和 $ S_2(a,b) $ 的求值结果为 $ -\frac{\Gamma(1-a)\Gamma(2m+1+a)}{(2m+1)!} \cos\pi a \, \zeta(-2m-1) $，在 $ -2m-1 < \Re(a) < 1 $ 范围内成立。
• 当 $ a+b = -2m-1 $ 时，双重求和 $ S_2(a,b) $ 的求值结果为 $ \frac{2(a)_{2m+2}}{(2m+2)!} \zeta'(-2m-2) $，在 $ -2m-2 < \Re(a) < 1 $ 范围内成立。
• 具体求值包括：当 $ -1 < \Re(a) < 1 $ 时，$ S_2(a,-a) = \frac{\pi a}{12} \cot \pi a $；当 $ -2 < \Re(a) < 1 $ 时，$ S_2(a,-1-a) = a(a+1)\zeta'(-2) = \frac{a(a+1)}{4\pi^2} \zeta(3) $。
• 矩积分 $ H_n(a) $ 被用于推导双重求和的求值结果，尤其在 $ a $ 为正整数且满足 $ 2 \leq m \leq n $ 时更为关键。