[论文解读] Integrals over Distributions, and Reparametrization Invariance of Perturbatively Defined Path Integrals

H. Kleinert, A. M. Chervyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 1999

advanced mathematical theories被引用 1

一句话总结

本文提出了在坐标空间中积分分布函数的简单规则，通过将这些积分视为D维积分在D → 1时的极限，重现了维度正规化的结果。该方法确认了在微扰路径积分中，当动力学变量发生重参数化时，路径积分保持不变，解决了当动能项变为空间依赖时在量子力学路径积分中出现的歧义。

ABSTRACT

We develop simple rules for performing integrals over products of distributions in coordinate space, such as to reproduce the results of dimensional regularization of momentum space Feynman integrals. The products of distributions arise in the perturbation expansion of quantum mechanical path integrals when reparametrizing the dynamical variables, which makes the kinetic term space-dependent. The new rules serve to confirm the recently established invariance under such reparametrizations. The rules are based on considering the integrals as D-->1 -limits of D-dimensional integrals.

研究动机与目标

• 解决在重参数化动力学变量导致动能项变为空间依赖时，路径积分表述中的歧义问题。
• 为在重参数化后的量子力学路径积分中出现的分布乘积的积分建立系统性方法。
• 通过坐标空间分布积分，确认微扰定义的路径积分在重参数化下的不变性。
• 建立坐标空间分布积分与动量空间维度正规化结果之间的联系。

提出的方法

• 该方法将分布乘积的积分视为D → 1时D维积分的极限。
• 通过D维积分的解析续延技术，对坐标空间中的奇异分布进行建模。
• 通过将分布嵌入D维正规化框架中，推广了标准的分布乘积。
• 通过坐标空间表述，重现了动量空间费曼积分维度正规化中的已知结果。
• 通过分析重参数化后动能项的结构，推导出规则，该结构引入了分布乘积。
• 通过保持正规化尺度不变性，确保与微扰量子场论的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当动能项在重参数化后变为空间依赖时，如何在坐标空间中一致地定义分布乘积？
• RQ2 能否使用坐标空间中分布乘积的积分重现动量空间维度正规化的结果？
• RQ3 当涉及分布乘积时，微扰路径积分是否仍保持在动力学变量重参数化下的不变性？
• RQ4 D维正规化在定义坐标空间中奇异积分时起到什么作用？
• RQ5 坐标空间中的分布乘积如何与动量空间费曼积分中使用的标准正规化技术相关联？

主要发现

• 所提出的在坐标空间中积分分布乘积的规则，成功重现了动量空间维度正规化的结果。
• 该方法确认了即使当动能项变为空间依赖时，微扰路径积分在动力学变量重参数化下仍保持不变。
• 分布乘积被一致地定义为D → 1时D维积分的极限，提供了一种与量子场论相容的正规化方案。
• 该框架解决了由于配置空间非线性重参数化而引起的路径积分表述中的歧义。
• 该方法在坐标空间分布积分与标准动量空间正规化之间建立了直接联系，验证了形式体系的一致性。