[论文解读] Integrated Finite Element Neural Network (I-FENN) for non-local continuum damage mechanics

Panos Pantidis, Mostafa E. Mobasher|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出了一种集成有限元神经网络（I-FENN），这是一种物理信息框架，将训练好的神经网络嵌入有限元法中，以实现高效、与网格无关的非局部连续介质损伤分析。通过使用物理信息神经网络（PINN）计算非局部等效应变及其关于局部应变的导数，I-FENN在局部方法的计算成本下实现了非局部模型的精度，消除了网格依赖性且未增加计算开销。

ABSTRACT

We present a new Integrated Finite Element Neural Network framework (I-FENN), with the objective to accelerate the numerical solution of nonlinear computational mechanics problems. We leverage the swift predictive capability of neural networks (NNs) and we embed them inside the finite element stiffness function, to compute element-level state variables and their derivatives within a nonlinear, iterative numerical solution. This process is conducted jointly with conventional finite element methods that involve shape functions: the NN receives input data that resembles the material point deformation and its output is used to construct element-level field variables such as the element Jacobian matrix and residual vector. Here we introduce I-FENN to the continuum damage analysis of quasi-brittle materials, and we establish a new non-local gradient-based damage framework which operates at the cost of a local damage approach. First, we develop a physics informed neural network (PINN) to resemble the non-local gradient model and then we train the neural network offline. The network learns to predict the non-local equivalent strain at each material point, as well as its derivative with respect to the local strain. Then, the PINN is integrated in the element stiffness definition and conducts the local to non-local strain transformation, whereas the two PINN outputs are used to construct the element Jacobian matrix and residual vector. This process is carried out within the nonlinear solver, until numerical convergence is achieved. The resulting method bears the computational cost of the conventional local damage approach, but ensures mesh-independent results and a diffused non-local strain and damage profile. As a result, the proposed method tackles the vital drawbacks of both the local and non-local gradient method, respectively being the mesh-dependence and additional computational cost.

研究动机与目标

• 解决局部损伤模型中的网格依赖性问题，同时避免传统非局部方法的高计算成本。
• 开发一种将神经网络集成到有限元法中的框架，以加速非线性计算力学仿真。
• 通过基于梯度的非局部损伤模型，在几乎无额外计算开销的前提下，实现准脆性材料中准确且弥散的损伤分布。
• 通过在非局部应变关系上训练物理信息神经网络（PINN），确保物理一致性与泛化能力。
• 通过发布PINN组件的训练代码和数据，提供可复现且开源的解决方案。

提出的方法

• 离线训练物理信息神经网络（PINN），基于非局部梯度模型预测非局部等效应变及其关于局部应变的导数。
• 将训练好的PINN嵌入有限元单元刚度矩阵中，在牛顿-拉夫森迭代过程中执行从局部到非局部应变的转换。
• 利用PINN的输出在非线性求解器中直接计算单元残差向量和雅可比矩阵，取代传统的非局部积分方案。
• 通过修改后的单元级雅可比矩阵和残差构建全局方程组，保持标准FEM的结构，同时嵌入神经网络预测结果。
• 将PINN预测结果整合到变分原理的弱形式中，确保与基础力学和能量型公式的一致性。
• 利用形函数和等参数单元将节点位移映射到应变场，由PINN在积分点处处理非局部转换。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将神经网络嵌入有限元法中，以实现非局部损伤模型的精度，同时保持局部模型的计算效率？
• RQ2 如何训练物理信息神经网络，以准确近似非局部等效应变及其导数，从而确保网格独立性？
• RQ3 与传统非局部FEM相比，I-FENN框架在非线性迭代求解器中的收敛性和稳定性保持在何种程度？
• RQ4 该方法是否能在不重新训练的情况下，泛化到不同网格密度和加载条件下？
• RQ5 将PINN集成到有限元刚度矩阵中，是否能在降低计算成本的同时保持解的物理一致性？

主要发现

• I-FENN框架在准脆性损伤仿真中实现了与网格无关的结果，消除了局部损伤模型中常见的虚假网格敏感性。
• 尽管引入了非局部效应，I-FENN的计算成本与传统局部损伤方法相当。
• PINN成功学习了非局部应变转换，生成了与梯度增强模型一致的弥散损伤分布。
• 该方法在牛顿-拉夫森迭代中保持了数值收敛性，收敛容差设定在$10^{-4}$至$10^{-6}$之间。
• 通过多个数值算例验证，该框架在不同网格密度和加载条件下表现出强大的泛化能力。
• 作者发布了PINN的训练代码及相关数据，确保了方法的完全可复现性，并为未来扩展提供了支持。