[论文解读] Integrating Gauge Fields in the $\zeta$-formulation of Feynman's path integral

Tobias Hartung, Karl Jansen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用 1

一句话总结

本文通过傅里叶积分算子 ζ-函数，将费曼路径积分的 ζ-正则化方法扩展至规范场论，实现了在外部规范势中对标量场和狄拉克场的真空期望值的解析计算。结果表明，ζ-正则化能产生物理上一致的结果——如正确的手征荷和基态能量——通过解析延拓由规范场存在下的谱数据导出的赫尔维茨 zeta 函数实现。

ABSTRACT

In recent work by the authors, a connection between Feynman's path integral and Fourier integral operator $\zeta$-functions has been established as a means of regularizing the vacuum expectation values in quantum field theories. However, most explicit examples using this regularization technique to date, do not consider gauge fields in detail. Here, we address this gap by looking at some well-known physical examples of quantum fields from the Fourier integral operator $\zeta$-function point of view.

研究动机与目标

• 将费曼路径积分的 ζ-正则化框架扩展至包含规范场，此前该形式化方法在规范场方面研究不足。
• 建立一种数学上严格且物理上一致的方法，利用算子 ζ-函数计算具有规范相互作用的量子场论中的真空期望值。
• 证明 ζ-正则化方法能重现已知的物理结果——如手征异常和基态能量——在外部规范场中的标量场和狄拉克场中。
• 表明该方法与连续极限相容，且可实现数值计算，包括如先前所建议的在量子计算机上实现。
• 为利用傅里叶积分算子的谱 zeta 函数，系统性地处理规范理论中的非微扰效应提供框架。

提出的方法

• 将真空期望值形式化为 ζ-函数的比值：⟨A⟩ζ = lim_{T→∞+i0} ζ(U(T,0)GA)/ζ(U(T,0)G)，在 z=0 处取值，其中 G 是一个全纯算子族。
• 对时间演化半群 U(T,0) 和可观测量 A 应用 ζ-函数正则化，利用 τ(A(z)) 在 z=0 处的亚纯延拓。
• 利用规范场存在下哈密顿量的谱分解（例如 A0=0, A1=A），将能级和荷表示为本征模的函数。
• 引入规范族 G±(z) = |H±|z，分别用于正负手性扇区，以正则化离散能级之和。
• 使用赫尔维茨 zeta 函数 ζH(s;x) 对本征值之和进行解析延拓，利用 s=0 和 s=−1 处的已知值计算 ⟨Q⟩ 和 ⟨H⟩。
• 通过 zeta 函数的解析延拓推导出手征荷和基态能量，确保与已知异常和物理预期一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于傅里叶积分算子 ζ-函数的 ζ-正则化框架能否一致地扩展至具有规范场的量子场论？
• RQ2 在外部规范场中，ζ-正则化后的标量场和狄拉克场的真空期望值是否能重现已知的物理结果，如手征异常？
• RQ3 如何利用 zeta 函数对具有规范场的哈密顿量的谱数据进行正则化，以获得有限且物理上有意义的结果？
• RQ4 ζ-正则化方法是否与连续极限相容，并可应用于非微扰或数值计算的系统？
• RQ5 该方法能否推广至非阿贝尔规范场，或超出本文研究的阿贝尔情形的更复杂背景？

主要发现

• 在 N+-N−-真空中，ζ-正则化手征荷为 ⟨Q+⟩N+,ζ = N+ − C+ 和 ⟨Q−⟩N−,ζ = C− − N−，其中 C± = (e∮A)/(2π) ∓ mX，因此 ⟨Q5⟩N+,N−,ζ = N+ + N− − 2(e∮A)/(2π)。
• 狄拉克场的基态能量为 ⟨HF⟩N+,N−,ζ = (π/X)(⟨Q+⟩2N+,ζ + ⟨Q−⟩2N−,ζ − 1/6)，明确显示出其对手征荷和异常项的依赖。
• 该方法正确再现了手征异常：⟨Q5⟩N+,N−,ζ 依赖于威尔逊圈 ∮A，即路径积分中的规范不变相因子。
• 通过在 s=0 和 s=−1 处使用赫尔维茨 zeta 函数正则化，得到 ⟨Q+⟩N+,ζ = N+ − C+ 和 ⟨H+⟩N+,ζ = −(π/X)((⟨Q+⟩N+,ζ)² − 1/12)，与 zeta 正则化已知结果一致。
• 该框架与连续极限一致，可实现数值计算，如先前工作 [18] 所示，包括在量子计算机上实现。
• 该方法通过将完整哈密顿量视为傅里叶积分算子，并利用 zeta 函数对谱数据进行正则化，将已知的 ζ-正则化技术推广至包含规范场的情形。