[论文解读] Integrating Lie algebroids via stacks

Hsian‐Hua Tseng, Chenchang Zhu|ArXiv.org|May 1, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文引入了'Weinstein丛'——具有丛结构的微分流形栈——作为李代数丛全局积分问题的解。通过为每个Weinstein丛定义一个典范李代数丛，并证明每个李代数丛均可积分至此类栈，作者利用栈理论方法建立了李代数丛的完整李第三定理。

ABSTRACT

Lie algebroids can not always be integrated into Lie groupoids. We introduce a new object--``Weinstein groupoid'', which is a differentiable stack with groupoid-like axioms. With it, we have solved the integration problem of Lie algebroids. It turns out that every Weinstein groupoid has a Lie algebroid and every Lie algebroid can be integrated into a Weinstein groupoid.

研究动机与目标

• 为解决李代数丛向全局几何对象积分的长期难题（经典李丛群胚并非总是存在）
• 提供一个概念性与几何性的框架，将李丛群胚推广以容纳非可积李代数丛
• 利用微分流形栈作为积分目标，建立李代数丛的栈理论版本的李第三定理
• 通过一个典范的栈构造，统一并推广先前关于局部积分、$A$-路径空间及辛群胚的结果
• 证明经典李代数丛可积性条件恰好对应于Weinstein丛作为光滑流形的可表示性

提出的方法

• 将'Weinstein丛'定义为配备源、目标、乘法、单位与逆映射的局部拓扑栈，其满足群胚公理，但仅在一致的2-同构意义下成立
• 通过其关联的局部李群胚的微分，定义Weinstein丛的李代数丛，该局部李群胚由一个局部拓扑表示及开覆盖的精化构造而成
• 使用Crainic与Fernandes提出的$A$-路径空间构造作为基础工具，定义在单位截面邻域上的局部群胚结构
• 对任意李代数丛$A$，通过一个局部拓扑群胚及其开覆盖的精化表示，构造两个典范的Weinstein丛$\mathcal{G}(A)$与$\mathcal{H}(A)$
• 在不同表示之间建立Weinstein丛的局部群胚与Weinstein丛的李代数丛之间的典范同构，确保表示间的一致性
• 证明$\mathcal{G}(A)$与$\mathcal{H}(A)$的轨道空间同构于Crainic-Fernandes（2003）构造的通用拓扑群胚

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典李群胚积分失败时，是否每个李代数丛均可积分至一个全局几何对象？
• RQ2 何种对李群胚的适当推广可实现所有有限维李代数丛的积分？
• RQ3 Weinstein丛的栈理论框架如何与现有构造（如$A$-路径空间与辛群胚）相关联？
• RQ4 Weinstein丛在何种条件下可表示为光滑流形？这与经典可积性有何关系？
• RQ5 Weinstein丛的李代数丛是否可被典范地定义？其是否能恢复原始的李代数丛？

主要发现

• 每个李代数丛$A$均可积分至两个典范的Weinstein丛$\mathcal{G}(A)$与$\mathcal{H}(A)$，二者共享相同的李代数丛$A$
• Weinstein丛的李代数丛通过其关联的局部李群胚的微分被典范地定义，该局部李群胚由局部拓扑表示及开覆盖的精化构造而成
• 李代数丛$A$经典可积（即积分至李群胚）当且仅当$\mathcal{H}(A)$可表示为光滑流形
• 当$\mathcal{H}(A)$可表示时，其与$A$的源-单连通李群胚一致，从而恢复经典积分结果
• $\mathcal{G}(A)$与$\mathcal{H}(A)$的轨道空间均同构于Crainic与Fernandes（2003）构造的$A$的通用拓扑群胚
• 从Weinstein丛构造局部李群胚的过程是典范的，且不依赖于表示的选择，确保了不同图册之间的一致性