[论文解读] Integration and measures on the space of countable labelled graphs

Apoorva Khare, Bala Rajaratnam|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过证明二元汉明范数 $ \|\cdot\|_{\psi,2} $ 在无限图空间与单位圆之间诱导出一个保持哈尔测度的双射，为可数标记图空间 $ \mathscr{G}(V) $ 上的积分与测度建立了严格的理论基础。该双射使得变量替换成为可能，从而将 $ \mathbb{R} $ 上的黎曼-勒贝格理论转移到图空间，同时识别出 $ \mathscr{G}(V) $ 的庞特里亚金对偶为沃尔什函数群，实现了图空间上的傅里叶分析。

ABSTRACT

In this paper we develop a rigorous foundation for the study of integration and measures on the space $\mathscr{G}(V)$ of all graphs defined on a countable labelled vertex set $V$. We first study several interrelated $σ$-algebras and a large family of probability measures on graph space. We then focus on a "dyadic" Hamming distance function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$, which was very useful in the study of differentiation on $\mathscr{G}(V)$. The function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$ is shown to be a Haar measure-preserving bijection from the subset of infinite graphs to the circle (with the Haar/Lebesgue measure), thereby naturally identifying the two spaces. As a consequence, we establish a "change of variables" formula that enables the transfer of the Riemann-Lebesgue theory on $\mathbb{R}$ to graph space $\mathscr{G}(V)$. This also complements previous work in which a theory of Newton-Leibnitz differentiation was transferred from the real line to $\mathscr{G}(V)$ for countable $V$. Finally, we identify the Pontryagin dual of $\mathscr{G}(V)$, and characterize the positive definite functions on $\mathscr{G}(V)$.

研究动机与目标

• 为所有具有固定可数标记顶点集 $ V $ 的图空间 $ \mathscr{G}(V) $ 建立严格的积分与测度理论。
• 识别并研究 $ \mathscr{G}(V) $ 上的哈尔测度，该空间在对称差运算下构成一个紧致阿贝尔群。
• 通过保持哈尔测度的双射，建立 $ \mathscr{G}(V) $ 上的积分与 $ \mathbb{R} $ 上黎曼-勒贝格理论之间的联系。
• 刻画 $ \mathscr{G}(V) $ 的庞特里亚金对偶，并识别图空间上的正定函数。
• 通过证明沃尔什函数在 $ L^2(\mathscr{G}(V)) $ 中构成完备正交基，实现图空间上的傅里叶分析。

提出的方法

• 定义 $ \mathscr{G}(V) = \{0,1\}^{K_V} $ 为所有在可数顶点集 $ V $ 上的图的空间，配备乘积拓扑和对称差作为群运算。
• 引入二元汉明范数 $ \|G\|_{\psi,2} = \sum_{e \in G} 2^{-\psi(e)} $，其中 $ \psi: K_V \to \mathbb{N} $ 为固定双射，该范数诱导出一个平移不变的度量。
• 证明 $ \|\cdot\|_{\psi,2} $ 是从无限图子集到单位圆 $[0,1)$ 的保持哈尔测度的双射，从而实现积分的变量替换。
• 利用该双射，将 $ \mathbb{R} $ 上的黎曼-勒贝格理论转移到 $ \mathscr{G}(V) $，使图空间上的积分可归约为 $[0,1]$ 上的积分。
• 将 $ \mathscr{G}(V) $ 的庞特里亚金对偶 $ \mathscr{G}^\wedge $ 刻画为由有限边集 $ E \in \mathscr{G}_0(V) $ 索引的沃尔什函数 $ \chi_E $ 构成的群。
• 应用博赫纳定理，证明 $ \mathscr{G}(V) $ 上每个归一化的正定函数均可表示为 $ \mathscr{G}^\wedge $ 上某个概率测度的傅里叶变换，而 $ \mathscr{G}^\wedge $ 同构于 $ \mathscr{G}_0(V) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在可数标记图空间 $ \mathscr{G}(V) $ 上建立一致的积分与测度理论？
• RQ2 二元汉明范数 $ \|\cdot\|_{\psi,2} $ 在图空间与单位圆之间建立联系并实现变量替换的过程中起什么作用？
• RQ3 $ \mathscr{G}(V) $ 上的哈尔测度与圆上的勒贝格测度有何关系？该同构关系有何重要意义？
• RQ4 $ \mathscr{G}(V) $ 的庞特里亚金对偶是什么？它与图空间上正定函数的结构有何关联？
• RQ5 能否通过沃尔什函数完全刻画 $ \mathscr{G}(V) $ 上的傅里叶分析？这与经典的 $ L^2 $ 理论有何关联？

主要发现

• 二元汉明范数 $ \|\cdot\|_{\psi,2} $ 诱导出从无限图空间到单位圆 $[0,1)$ 的保持哈尔测度的双射，从而实现变量替换，使 $ \mathbb{R} $ 上的积分可转移至 $ \mathscr{G}(V) $。
• 通过该双射，$ \mathscr{G}(V) $ 上的积分可归约为 $[0,1]$ 上的积分，从而有效将黎曼-勒贝格理论运输到图空间。
• $ \mathscr{G}(V) $ 的庞特里亚金对偶 $ \mathscr{G}^\wedge $ 同构于在对称差运算下构成群的有限图空间 $ \mathscr{G}_0(V) $。
• 对于 $ E \in \mathscr{G}_0(V) $，沃尔什函数 $ \chi_E $ 在 $ L^2(\mathscr{G}(V)) $ 中构成完备正交基，且在 $ \|\cdot\|_{\psi,2} $ 映射下转化为 $[0,1]$ 上的标准沃尔什函数。
• 根据博赫纳定理，$ \mathscr{G}(V) $ 上每个归一化的正定函数均可表示为 $ f(G) = \sum_{H \in \mathscr{G}_0(V)} (-1)^{|G \cap H|} \mu(H) $，其中 $ \mu $ 为 $ \mathscr{G}_0(V) $ 上的概率测度。