[论文解读] Integration by Parts Formula, Derivative Formula, and Transportation Inequalities for SDEs Driven by Fractional Brownian Motion

Xiliang Fan|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文建立了由分数布朗运动驱动的随机伏尔泰拉方程解的分部积分公式、导数公式以及运输不等式。通过使用马利avin微积分和路径分析方法，推导出类似比斯穆特的导数公式和类似塔拉格朗德的运输成本不等式，从而实现对解的过渡密度的梯度估计、强费勒性质以及在一致范数和L²范数下的概率测度正则性结果。

ABSTRACT

This paper is devoted to study a class of stochastic Volterra equations associated with fractional Brownian motion. We first prove the Driver type integration by parts formula and the shift Harnack type inequalities. As a direct application, we provide an alternative method to describe the regularities of the law of the solution. Secondly, by using the Malliavin calculus, the Bismut type derivative formula is established, which is then applied to the study of the gradient estimate and the strong Feller property. Finally, we establish the Talagrand type transportation cost inequalities for the law of the solution on the path space with respect to both the uniform metric and the $L^2$-metric.

研究动机与目标

• 为分数布朗运动驱动的随机伏尔泰拉方程解建立分部积分公式。
• 通过马利avin微积分建立类似比斯穆特的导数公式，以实现梯度估计和强费勒性质。
• 在路径空间上，针对一致范数和L²范数，推导出类似塔拉格朗德的运输成本不等式。
• 提供一种替代方法，利用这些函数不等式分析解的概率测度的正则性。

提出的方法

• 应用类似驱动器的分部积分公式，以刻画解的概率测度。
• 利用马利avin微积分，推导出转移半群的类似比斯穆特的导数公式。
• 建立平移哈纳克不等式，作为梯度估计的工具。
• 在一致范数和L²范数下，推导出路径空间上的类似塔拉格朗德的运输成本不等式。
• 结合路径分析方法与马利avin微积分，分析解的正则性与遍历性性质。
• 利用解的马利avin可微性，获得梯度估计与强费勒行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为分数布朗运动驱动的SDE解建立分部积分公式？
• RQ2 如何利用马利avin微积分推导出此类过程的类似比斯穆特的导数公式？
• RQ3 在不同度量下，解在路径空间上的概率测度满足何种运输成本不等式？
• RQ4 这些函数不等式能否用于推导出梯度估计与强费勒性质？
• RQ5 解的概率测度的正则性如何？能否通过这些工具加以刻画？

主要发现

• 为分数布朗运动驱动的随机伏尔泰拉方程解建立了类似驱动器的分部积分公式。
• 通过马利avin微积分推导出类似比斯穆特的导数公式，实现了梯度估计与强费勒性质。
• 获得了平移哈纳克不等式，为研究解的概率测度正则性提供了新方法。
• 在路径空间上，针对一致范数和L²范数，证明了解的概率测度的类似塔拉格朗德的运输成本不等式。
• 所推导的函数不等式导出了对过渡密度和概率测度光滑性的定量估计。
• 结果表明，马利avin微积分与路径分析方法在分析具有长程依赖性的SDE时具有适用性。