[论文解读] Integration by parts formula for non-pluripolar product

Mingchen Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文在紧致 Kähler 流形上建立了非纯 pluripolar Monge–Ampère 乘积的分部积分公式，推广了 [BEGZ10] 中仅适用于极小无界支集的势函数的结果。作者利用 Witt Nyström 的构造方法，将势函数提升至与 $\mathbb{P}^N$ 的乘积上，使无界支集变小，并通过 Monge–Ampère 测度的收敛性，将一般情形约化为已知的有界情形。

ABSTRACT

In this paper, we prove the integration by parts formula for the non-pluripolar product on a compact Kähler manifold. Our result generalizes the special case of potentials with small unbounded loci proved in [BEGZ10].

研究动机与目标

• 将非纯 pluripolar Monge–Ampère 乘积的分部积分公式推广至无界支集不为极小的势函数。
• 弥合文献中此前未建立的一般情形的空白。
• 推广 [BEGZ10] 定理 1.14，该定理仅适用于无界支集较小的势函数。
• 通过极限构造，在原始流形上的积分与 $X \times \mathbb{P}^N$ 上的积分之间建立直接联系。
• 在 $[\varphi_1] = [\varphi_2]$ 且 $[\psi_1] = [\psi_2]$ 的条件下，证明分部积分公式成立。

提出的方法

• 利用 Witt Nyström 的构造，将每个 $\varphi \in \mathrm{PSH}(X,\theta)$ 关联到 $X \times \mathbb{P}^N$ 上的一族势函数 $\Phi_N[\varphi]$，其无界支集较小。
• 利用 $\Phi_N[\varphi]$ 的 Monge–Ampère 测度在 $N \to \infty$ 时收敛于 $\varphi$ 的测度，将一般情形约化为有界情形。
• 在 $X \times \mathbb{P}^N$ 上的提升势函数上应用已知的、适用于无界支集较小的势函数的分部积分公式（来自 [BEGZ10]）。
• 通过极化与齐次化技术，将公式扩展至具有相同上同调类的势函数之差。
• 建立关于系数 $a_0, \dots, a_n$ 的多项式恒等式，通过比较两边 $a_2 \cdots a_n$ 的系数，从而在 $X$ 上证明公式。
• 在单纯形 $\Sigma_N$ 上进行二次优化，分析最近点投影的行为，并推导误差函数 $g_N$ 的渐近展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 非纯 pluripolar Monge–Ampère 乘积的分部积分公式能否推广至无界支集不为极小的势函数？
• RQ2 是否能够通过几何提升构造，将紧致 Kähler 流形上的一般分部积分问题约化为经典的 Bedford–Taylor 理论？
• RQ3 当 $[\varphi_1] = [\varphi_2]$ 且 $[\psi_1] = [\psi_2]$ 时，涉及 $u = \varphi_1 - \varphi_2$ 和 $v = \psi_1 - \psi_2$ 的积分在非纯 pluripolar 乘积下的精确关系是什么？
• RQ4 Witt Nyström 的构造如何促进分部积分背景下 Monge–Ampère 测度的收敛性？
• RQ5 在将问题提升至 $X \times \mathbb{P}^N$ 后，是否能通过系数比较的多项式论证方法恢复分部积分公式？

主要发现

• 对于所有满足 $[\varphi_1] = [\varphi_2]$ 且 $[\psi_1] = [\psi_2]$ 的 $\varphi_1, \varphi_2, \psi_1, \psi_2 \in \mathrm{PSH}(X,\theta)$，分部积分公式成立，推广了 [BEGZ10] 定理 1.14。
• 通过 Witt Nyström 的构造将势函数提升至 $X \times \mathbb{P}^N$，使得无界支集变小，从而可应用已知的有界情形结果。
• $\Phi_N[\varphi]$ 的 Monge–Ampère 测度在适当意义下收敛于 $\varphi$ 的原始 Monge–Ampère 测度，从而实现约化。
• 建立了 $X$ 上的积分与 $X \times \mathbb{P}^N$ 上的积分之间的直接公式，如推论 2.14 所述。
• 证明依赖于关于系数 $a_0, \dots, a_n$ 的多项式恒等式，表明分部积分公式两边 $a_2 \cdots a_n$ 的系数相等。
• $g_N(x) = \min_{\alpha \in \Sigma_N} (x - \alpha)^2 - x^2$ 被证明是连续且分段线性的，且斜率有界，从而支持了证明中的渐近分析。