[论文解读] Integration by parts formulae for degenerate diffusion measures on path spaces and diffeomorphism groups

K. D. Elworthy, Y. Le Jan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 1被引用 18

一句话总结

本文建立了在紧致光滑流形的路径空间和微分同胚群上退化扩散测度的分部积分公式，其推导基于Cameron-Martin型扰动下随机流的拟不变性。关键结果是在微分同胚群上利用伴随作用和LeJan-Watanabe联络的路径式分部积分公式，该公式可过滤冗余噪声，并通过条件期望与水平提升在基流形上得到规范形式。

ABSTRACT

Integration by parts formulae are given for a class of measures on the space of paths of a smooth manifold $M$ determined by the laws of degenerate diffusions. The mother of such formulae, on the path space of diffeomorphism group of $M$ is shown to arise from a quasi-invariance property of measures determined by stochastic flows. From this the other formulae are derived by filtering out redundant noise using an associated LeJan-Watanabe connection.

研究动机与目标

• 在紧致光滑流形上的路径空间上，建立退化扩散测度的严格分部积分公式。
• 从Cameron-Martin路径诱导的扰动下，随机流的律的拟不变性出发，推导此类公式。
• 通过LeJan-Watanabe联络过滤扩散中的冗余噪声，从而在基流形上得到规范的公式。
• 将该框架扩展至具有正则群结构的希尔伯特流形上的无限维微分同胚群及右不变系统。
• 利用水平提升与扩散系数像丛上的自适联络，提供一种路径式、几何化的分部积分公式表述。

提出的方法

• 通过Cameron-Martin路径对时间依赖扰动作用于随机流的律，利用其拟不变性，在微分同胚群的路径空间上推导出母体分部积分公式。
• 通过右不变常微分方程在Diff M上构造扰动流 $ H_t^ au $，其驱动项为逆流的伴随作用与噪声系数 $ K_t = X( heta_t)k_t $。
• 在像子丛 $ I(X) \subset TM $ 上使用LeJan-Watanabe联络 $ \check{\nabla} $，定义一个与度量相容的仿射联络，以从SDE中去除冗余噪声。
• 应用条件期望 $ \bar{V}_t^k $ 将漂移投影至可观测路径空间，从而在 $ C_x([0,T];M) $ 上得到一个规范向量场。
• 将所得的分部积分公式用鞅部分 $ dW_t = X(\cdot)dB_t $ 和向量场的再生核希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $ 表示。
• 通过联络提升水平过程 $ \bar{v}_t $ 并以平行移动与随机反发展表达漂移，推导出最终公式 (17)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导出在紧致流形上路径空间的退化扩散测度的分部积分公式，特别是当扩散系数不可逆时？
• RQ2 随机流在Cameron-Martin型扰动下的拟不变性在生成分部积分恒等式中起什么作用？
• RQ3 如何通过几何方式过滤SDE中的冗余噪声，以在路径空间上得到一个规范的可观测向量场？
• RQ4 LeJan-Watanabe联络在构造与度量相容的、噪声到像子丛 $ I(X) $ 上的水平提升中起何精确作用？
• RQ5 分部积分公式能否从有限维微分同胚群扩展到具有右不变结构的无限维希尔伯特流形？

主要发现

• 在 $ C_{id}([0,T];\text{Diff} M) $ 上的随机流的律 $ \mu_{\cal D} $ 对扰动 $ \xi_t \mapsto \xi_t(H_t^\tau) $ 具有拟不变性，从而生成母体分部积分公式 (5)。
• 公式 (5) 将 $ C^1 $泛函 $ F $ 沿逆流的伴随作用方向的导数期望，表达为与鞅部分 $ dW_t $ 的内积，从而在群路径空间上得到规范形式。
• 通过LeJan-Watanabe联络 $ \check{\nabla} $ 过滤冗余噪声后，得到在基流形路径空间 $ C_x([0,T];M) $ 上的公式 (17)，其基于初始切向量的水平提升 $ \bar{v}_t $。
• 水平过程 $ \bar{v}_t $ 满足一个由联络的里奇曲率、漂移 $ A $ 与随机反发展 $ \check{B}_t $ 驱动的随机微分方程 (15)。
• 最终公式 (17) 将 $ C_x([0,T];M) $ 上的分部积分表达为噪声 $ X(\sigma(s))\dot{K}_s $ 与反发展 $ \check{B}_t $ 的平行移动之间的内积，由联络加权。
• 当 $ A(x) \in I(X)_x $ 时，水平过程 $ \bar{v}_t $ 满足一个涉及Levi-Civita联络与曲率项 $ \frac{1}{2}\check{\text{Ric}}^\#(\bar{v}_t) $ 的SDE (16)，从而确认了其几何一致性。