[论文解读] Integration of twisted Dirac brackets

Henrique Bursztyn, Marius Crainic+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文建立了流形 M 上源-单连通的扭曲预辛群胚与由闭的 3-形式 φ 给出的扭曲 Dirac 结构之间的对应关系。它表明，相对于 φ 闭的群胚上的可乘 2-形式，对应于满足关于 φ-扭曲 Courant 括号条件的 T*M 值李代数胚映射，从而将泊松-辛群胚对偶性推广至扭曲情形，并统一了拟哈密顿空间与取值于群的动量映射的理论。

ABSTRACT

The correspondence between Poisson structures and symplectic groupoids, analogous to the one of Lie algebras and Lie groups, plays an important role in Poisson geometry; it offers, in particular, a unifying framework for the study of hamiltonian and Poisson actions. In this paper, we extend this correspondence to the context of Dirac structures twisted by a closed 3-form. More generally, given a Lie groupoid $G$ over a manifold $M$, we show that multiplicative 2-forms on $G$ relatively closed with respect to a closed 3-form $ϕ$ on $M$ correspond to maps from the Lie algebroid of $G$ into the cotangent bundle $T^*M$ of $M$, satisfying an algebraic condition and a differential condition with respect to the $ϕ$-twisted Courant bracket. This correspondence describes, as a special case, the global objects associated to twisted Dirac structures. As applications, we relate our results to equivariant cohomology and foliation theory, and we give a new description of quasi-hamiltonian spaces and group-valued momentum maps.

研究动机与目标

• 将泊松结构与辛群胚之间的对应关系推广至由闭的 3-形式 φ 扭曲的 Dirac 结构情形。
• 定义并刻画作为带有相对于 φ 闭的可乘 2-形式的群胚的扭曲预辛群胚。
• 证明群胚的李代数胚到 T*M 的映射，若满足关于 φ-扭曲 Courant 括号的代数与微分条件，则可分类此类扭曲预辛群胚。
• 在扭曲 Dirac 几何的框架下，统一并推广拟哈密顿空间与取值于群的动量映射的理论。

提出的方法

• 引入 φ-扭曲预辛群胚的概念，其中群胚 G 上的可乘 2-形式 ω 满足 dω = s*φ − t*φ，s 与 t 分别为源与目标映射。
• 建立此类群胚（模同构）与基流形 M 上的 φ-扭曲 Dirac 结构之间的一一对应关系。
• 将相对 φ-闭的可乘 2-形式的无穷小对应物刻画为满足代数条件与涉及 φ-扭曲 Courant 括号的微分条件的李代数胚同态 A → T*M。
• 使用 [13, Sec. 4.2] 中的重构技术，从其无穷小数据恢复全局可乘 2-形式。
• 将该理论应用于 Dirac 结构的实现，表明 Cartan-Dirac 结构的预辛实现恰好对应于具有取值于群的动量映射的拟哈密顿 H-空间。
• 证明与群 H 的共轭作用相关的变换群胚 H ⋉ H 携带一个自然的扭曲预辛结构，通过积分可恢复双代数 D(H) 与 AMM 群胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 泊松结构与辛群胚之间的对应关系如何推广至由闭的 3-形式 φ 扭曲的 Dirac 结构情形？
• RQ2 一个李群胚上的可乘 2-形式需满足何种条件，才能在基流形上诱导出 φ-扭曲 Dirac 结构？
• RQ3 拟哈密顿 H-空间与取值于群的动量映射如何与扭曲预辛群胚及 Cartan-Dirac 结构相关联？
• RQ4 φ-扭曲 Courant 括号在分类群胚上的可乘 2-形式中起何种作用？
• RQ5 何时一个正则 Dirac 结构的分类类是可积的？这与单连通群与叶状周期的关系如何？

主要发现

• 建立了 M 上源-单连通的 φ-扭曲预辛群胚与 M 上 φ-扭曲 Dirac 结构之间的双射对应。
• 在群胚上相对 φ-闭的可乘 2-形式，精确对应于满足关于 φ-扭曲 Courant 括号的代数条件与微分条件的李代数胚同态 A → T*M。
• 与李群 H 的共轭作用相关的变换群胚 H ⋉ H 携带一个自然的扭曲预辛结构，该结构积分了 H 上的 Cartan-Dirac 结构。
• Cartan-Dirac 结构的预辛实现等价于具有取值于群的动量映射的拟哈密顿 H-空间，且实现映射对应于动量映射。
• φ-扭曲正则 Dirac 结构的分类类 c(L,φ) 满足 c(L,φ) = c(L) + [φ̄]，若 [φ̄] 在 H²(F;ν*) 中为零，则 G(L,φ) ≅ G(L) 通过一个同构将扭曲形式映射为 ω_L + pr*ω_ψ。
• c(L) 的可积性等价于所有叶状周期为零，且所有单连通群 N_x(L) 为零。