[论文解读] Integration on the space of Connections Modulo Gauge Transformations

Abhay Ashtekar, Donald Marolf+1 more|ArXiv.org|Mar 22, 1994

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 27

一句话总结

本文在规范变换下的连接空间（$\mathcal{A}/\mathcal{G}$）上建立了积分理论，这对于规范理论与引力理论的非微扰量化至关重要。通过构建holonomy代数的Gel'fand谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 并利用cylindrical测度，建立了该谱上的正则Borel测度与正线性泛函之间的一一对应关系，从而为规范不变的量子态提供了严格的Hilbert空间结构。

ABSTRACT

A summary of the known results on integration theory on the space of connections modulo gauge transformations is presented and its significance to quantum theories of gauge fields and gravity is discussed. The emphasis is on the underlying ideas rather than the technical subtleties.

研究动机与目标

• 为连接模规范变换的无限维空间 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 提供一个积分的理论框架，这对于非微扰量化至关重要。
• 解决在 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上定义合适测度 $\mu$ 的问题，以计算规范不变量子态的内积。
• 建立有限维投影上的cylindrical测度与Gel'fand谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上正则Borel测度之间的一一对应关系。
• 阐明分段解析环路在实现holonomy代数的一致分解及谱的表征中的作用。
• 展示Riesz表示定理如何应用于holonomy代数，从而为量子态构造Hilbert空间结构。

提出的方法

• 从分段解析环路上的Wilson环路泛函构造holonomy代数 $\overline{\mathcal{HA}}$，确保其在分解为无重叠线段下的不变性。
• 将谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 定义为 $\overline{\mathcal{HA}}$ 上的特征标空间，配备Gel'fand拓扑，使其成为一个紧致的Hausdorff空间。
• 利用Gel'fand变换将 $\overline{\mathcal{HA}}$ 与 $C(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}})$（谱上连续函数的代数）等同起来。
• 应用Riesz表示定理，建立 $\overline{\mathcal{HA}}$ 上正线性泛函与 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上正则Borel测度之间的一一对应关系。
• 在有限维投影上构造一致的cylindrical测度族 $\{\mu_{S^*}\}$，并将其唯一延拓为 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上的正则Borel测度 $\hat{\mu}$。
• 证明 $\overline{\mathcal{HA}}$ 的每个循环 $\star$-表示都酉等价于 $L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, \hat{\mu})$ 上的乘法表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在连接模规范变换的无限维空间 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上定义一个一致的测度？
• RQ2 分段解析环路在实现well-defined的holonomy代数及其谱中起什么作用？
• RQ3 Gel'fand谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 与原始空间 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 有何关系？为何其更大？
• RQ4 Riesz表示定理能否应用于holonomy代数，以构造量子态的Hilbert空间？
• RQ5 有限维投影上的一致cylindrical测度族如何延拓为全谱上的正则Borel测度？

主要发现

• 谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 是一个紧致的Hausdorff空间，严格包含 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 在自然嵌入 $\delta$ 下的像，意味着存在无法由光滑连接表示的广义连接。
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 的元素与从hoop群 $\mathcal{HG}_{x_0}$ 到规范群 $G$ 的同态类之间存在一一对应，模去全局规范变换。
• 通过Gel'fand变换，holonomy代数 $\overline{\mathcal{HA}}$ 同构于谱上连续函数的代数 $C(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}})$。
• 每个 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上的正则Borel测度 $\hat{\mu}$ 都可唯一地视为有限维投影上一致cylindrical测度族 $\{\mu_{S^*}\}$ 的延拓。
• $\overline{\mathcal{HA}}$ 的每个循环 $\star$-表示都酉等价于 $L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, \hat{\mu})$ 上的乘法算子表示，从而为量子态提供了Hilbert空间。
• 该构造为通过 $\hat{\mu}$ 的积分定义规范不变波函数 $\Psi(A)$ 的内积提供了严格的框架，从而实现了Yang-Mills理论与引力理论的非微扰量化。