[论文解读] Integration with respect to model-free price paths with jumps

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Economic theories and models参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文在跳躍價格路徑具有受控增長條件的前提下，針對適應的、 càglàd 策略 $ G $，提出了對 càdlàg 價格路徑的路徑式隨機積分 $ G \cdot S $。該積分定義為簡單積分的極限，無需假設特定的半鞅或機率模型，從而實現對跳躍過程的路徑式積分推廣。

ABSTRACT

For every adapted, càglàd process (strategy) $G$ and typical càdlàg price paths whose jumps satisfy some mild growth condition we define integral $G\cdot S$ as a limit of simple integrals.

研究动机与目标

• 將路徑式隨機積分推廣至包含跳躍的價格路徑，且不依賴半鞅或機率假設。
• 在價格過程 $ S $ 為 càdlàg 且跳躍具有受控增長的情況下，定義適應的、 càglàd 策略 $ G $ 的有意義積分 $ G \cdot S $。
• 建立一個嚴謹的、無模型的隨機積分框架，適用於具有不連續價格波動的市場。
• 將既有的路徑式積分理論推廣至包含跳躍的過程，突破傳統理論通常假設連續路徑或半鞅結構的限制。

提出的方法

• 將積分 $ G \cdot S $ 定義為由逼近 càglàd 策略 $ G $ 的簡單策略所構造的黎曼-斯蒂爾吉斯和的極限。
• 利用價格路徑 $ S $ 的 càdlàg 性質，確保簡單積分收斂時的規律性。
• 對 $ S $ 的跳躍施加一個寬鬆的增長條件，以控制變異並確保積分的收斂性。
• 採用路徑式技術，避免機率假設，僅依賴樣本路徑的正則性與逼近方法。
• 利用 $ G $ 的 càglàd 性質，確保其可預測性與 $ S $ 的跳躍結構相容。
• 根據跳躍增長條件的性質，建立積分在一致或局部意義下的收斂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為包含跳躍的價格路徑一致定義策略的路徑式隨機積分？
• RQ2 價格路徑跳躍行為的何種條件可確保簡單積分逼近的收斂性？
• RQ3 如何將無模型積分推廣至連續路徑之外，以涵蓋具有跳躍的 càdlàg 價格過程？
• RQ4 是否可能在不假設 $ S $ 為半鞅或指定機率測度的情況下定義 $ G \cdot S $？
• RQ5 策略 $ G $ 與價格路徑 $ S $ 的何種正則條件可保證積分作為極限存在的條件？

主要发现

• 對於每一個適應的、 càglàd 策略 $ G $，以及每一個具有受控增長條件跳躍的 càdlàg 價格路徑 $ S $，積分 $ G \cdot S $ 均存在於簡單積分的極限形式。
• 該構造完全基於路徑，無需機率測度或半鞅結構，從而實現無模型分析。
• 即使 $ S $ 因跳躍導致變異無界，只要跳躍增長受控，積分仍為良好定義。
• $ G $ 的 càglàd 性質確保其與 $ S $ 的跳躍時刻相容，有利於逼近方案的收斂。
• 該方法將經典的路徑式積分理論推廣至跳躍過程，擴展了無模型隨機微積分的適用範圍。
• 該框架支持在不依賴機率假設的情況下，發展具有無套利性質的定價與對沖理論，適用於具有不連續價格波動的市場。