[论文解读] Interacting electrons, Density Functional Theory, and Quantum Merlin Arthur

Norbert Schuch, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文表明，若在密度泛函理论（DFT）中存在一个高效的通用泛函，则可求解量子复杂度类QMA中的任意问题——这意味着，除非量子计算机能在多项式时间内求解NP问题，否则此类泛函不可能被高效构造。该结果基于量子计算复杂度理论，确立了DFT中通用泛函发展的根本性复杂度障碍。

ABSTRACT

One of the central problems in quantum mechanics is to determine the ground state properties of a system of electrons interacting via the Coulomb potential. Since its introduction by Hohenberg, Kohn, and Sham, Density Functional Theory (DFT) has become the most widely used and successful method for simulating systems of interacting electrons, making their original work one of the most cited in physics. In this letter, we show that the field of computational complexity imposes fundamental limitations on DFT, as an efficient description of the associated universal functional would allow to solve any problem in the class QMA (the quantum version of NP) and thus particularly any problem in NP in polynomial time. This follows from the fact that finding the ground state energy of the Hubbard model in an external magnetic field is a hard problem even for a quantum computer, while given the universal functional it can be computed efficiently using DFT. This provides a clear illustration how the field of quantum computing is useful even if quantum computers would never be built.

研究动机与目标

• 研究在外部场中相互作用电子体系基态能量计算的复杂度。
• 评估DFT中是否存在高效的通用泛函，以克服固有的量子多体复杂度。
• 建立DFT可行性与量子计算能力（特别是QMA）之间的联系。
• 证明在磁场中求解Hubbard模型是QMA难问题，即使对量子计算机而言亦如此。
• 表明若存在高效的DFT描述，将导致量子复杂度类的坍塌，从而证明其不可行性。

提出的方法

• 本文以带有外部磁场的Hubbard模型作为相互作用电子体系的代表性模型进行分析。
• 识别出该模型的基态能量计算属于QMA完全问题，即属于量子复杂度类QMA中最难的问题之一。
• 作者利用DFT在已知通用泛函时可高效计算基态能量的事实。
• 通过将Hubbard模型的QMA难性与在通用泛函下DFT的高效性相结合，若此类泛函可被高效计算，则导出一个复杂度理论上的矛盾。
• 该论证依赖于QMA不包含于BQP的假设，这是量子复杂度理论中广泛接受的猜想。
• 结论通过反证法得出：若存在高效的通用泛函，则可高效求解QMA问题，这与已知的复杂度界限相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 若已知通用泛函，是否能通过DFT高效计算外部磁场中Hubbard模型的基态能量？
• RQ2 在库仑势场中确定相互作用电子体系基态能量的计算复杂度为何？
• RQ3 DFT中是否存在高效的通用泛函，是否意味着所有QMA问题都可在多项式时间内求解？
• RQ4 求解Hubbard模型基态能量的问题是否为QMA完全问题？
• RQ5 QMA难性对DFT的实际与理论发展有何影响？

主要发现

• 在外部磁场中的Hubbard模型的基态能量计算是QMA完全问题，意味着它是量子计算机可求解的最难问题之一。
• 若DFT中存在高效的通用泛函，则可在多项式时间内求解QMA中的任意问题。
• 这意味着，若存在高效的通用泛函，将导致量子复杂度层次的坍塌，与广泛接受的复杂度理论假设相矛盾。
• 因此，除非QMA被包含于BQP，否则不存在高效的通用泛函，而这一情况被认为极不可能。
• 该结果在理论上确立了DFT的根本限制，其根源在于量子计算复杂度。
• 研究结果说明，即使不实际构建量子计算机，量子复杂度理论也能为电子结构理论的极限提供深刻洞见。