[论文解读] Interaction and modular invariance of strings on curved manifolds

Stephen Hwang, Patrick J. Roberts|ArXiv.org|Nov 17, 1992

Black Holes and Theoretical Physics被引用 10

一句话总结

本文研究了在弯曲流形上（特别是 SU(1,1) 群流形及其欧几里得商空间 SU(1,1)/U(1)）的弦传播，聚焦于模不变性与相互作用。通过使用离散表示构造了两类弦理论，这些表示可解耦非幺正态并产生模不变的划分函数；SU(1,1) 情况下的中心电荷为 c=9,6,5,9/2,… 和 c=9,15,21,27,…，后者系列在减去 2 后与 Gervais-Neveu 系列一致，提示其与 Liouville 理论存在类似 c=1 弦的联系。商空间理论产生收敛的划分函数，并包含临界二维黑洞。

ABSTRACT

We review and present new results for a string moving on an $SU(1,1)$ group manifold. We discuss two classes of theories which use discrete representations. For these theories the representations forbidden by unitarity decouple and, in addition, one can construct modular invariant partition functions. The partion functions do, however, contain divergencies due to the time-like direction of the $SU(1,1)$ manifold. The two classes of theories have the corresponding central charges $c=9,6,5,9/2,\ldots$ and $c=9,15,21,27,\ldots$. Subtracting two from the latter series of central charges we get the Gervais-Neveu series $c-2=7,13,19,25$. This suggests a relationship between the $SU(1,1)$ string and the Liouville theory, similar to the one found in the $c=1$ string. Modular invariance is also demonstrated for the principal continous representations. Furthermore, we present new results for the Euclidean coset $SU(1,1)/U(1)$. The same two classes of theories will be possible here and will have central charges $c=8,5,4,\dots$ and $c=8,14,20,26,\ldots$, where the latter class includes the critical 2d black hole. The partition functions for the coset theory are convergent.(Talk presented by S.H. at the 16'th Johns Hopkins' Workshop, Göteborg, Sweden, June 8-10, 1992)

研究动机与目标

• 研究在模不变性背景下，SU(1,1) 群流形及其欧几里得商空间 SU(1,1)/U(1) 上的弦动力学。
• 利用离散表示构造解耦非幺正表示的弦理论。
• 尽管 SU(1,1) 由于其时间方向导致发散，仍推导出这些理论的模不变划分函数。
• 探索 SU(1,1) 弦与 Liouville 理论之间的联系，特别是通过 Gervais-Neveu 系列。
• 证明主连续表示的模不变性，并确立商模型的可行性。

提出的方法

• 利用 SU(1,1) 的离散幺正与非幺正表示，构造解耦非幺正态的弦理论。
• 应用模不变性约束于划分函数，推导出其在模变换下保持不变的条件。
• 使用欧几里得符号分析 SU(1,1)/U(1) 商模型，以确保划分函数的收敛性。
• 基于表示内容识别两类不同理论，每类产生特定的中心电荷序列。
• 将中心电荷序列 c=9,15,21,27,… 和 c=8,14,20,26,… 与 Gervais-Neveu 系列 c−2=7,13,19,25… 进行比较，提示与 Liouville 理论存在对偶性。
• 证明主连续表示的模不变性，将该框架的有效性扩展至离散系列之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 SU(1,1) 群流形上构造弦理论，以在时间方向导致发散的情况下仍保证模不变性？
• RQ2 离散表示在解耦非幺正态并实现模不变划分函数中起到何种作用？
• RQ3 中心电荷序列 c=9,6,5,9/2,… 和 c=9,15,21,27,… 如何与二维量子引力中的已知系列（如 Gervais-Neveu 系列）相关联？
• RQ4 SU(1,1)/U(1) 商模型能否产生收敛的划分函数并支持临界二维黑洞物理？
• RQ5 SU(1,1) 弦与 Liouville 理论之间的对偶性本质是什么？其在中心电荷结构中如何体现？

主要发现

• 通过离散表示在 SU(1,1) 上构造了两类弦理论，其中心电荷分别为 c=9,6,5,9/2,… 和 c=9,15,21,27,…。
• 第二类中心电荷在减去 2 后与 Gervais-Neveu 系列 c−2=7,13,19,25… 一致，提示其与 Liouville 理论存在潜在对偶性。
• 尽管 SU(1,1) 由于时间方向导致发散，但离散表示与主连续表示均实现了模不变性。
• 欧几里得商空间 SU(1,1)/U(1) 产生两类理论，其中心电荷为 c=8,5,4,… 和 c=8,14,20,26,…，后者包含临界二维黑洞。
• 商理论的划分函数是收敛的，而 SU(1,1) 情况并非如此，使商模型更具物理可行性。
• 结果提示 SU(1,1) 弦理论与 Liouville 理论之间存在深层结构联系，类似于 c=1 弦模型中已确立的联系。