[论文解读] Interaction quenches in the Lieb-Liniger model

Márton Kormos, Aditya Shashi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过广义吉布斯系综（GGE）结合贝特 ansatz 方法，研究了可积一维李布-林德格模型中的相互作用淬火。结果表明，无穷多守恒荷在准动量分布中引发非解析行为，导致非局域关联函数中出现与相互作用相关的弗里德尔型振荡——这与热平衡预测显著不同，并为冷原子实验提供了可检验的特征信号。

ABSTRACT

We obtain exact results on interaction quenches in the 1D Bose gas described by the integrable Lieb-Liniger model. We show that in the long time limit integrability leads to significant deviations from the predictions of the grand canonical ensemble and a description within the generalized Gibbs ensemble (GGE) is needed. For a non-interacting initial state and arbitrary final interactions, we find that the presence of infinitely many conserved charges generates a non-analytic behavior in the equilibrated density of quasimomenta. This manifests itself in a dynamically generated Friedel-like oscillation of the non-local correlation functions with interaction dependent oscillation momenta. We also exactly evaluate local correlations and the generalized chemical potentials within GGE.

研究动机与目标

• 理解孤立量子系统在相互作用淬火后长时间行为的演化，特别是在李布-林格模型等可积模型中的表现。
• 确定传统的热平衡系综（如正则系综）是否能准确描述稳态，还是必须采用广义吉布斯系综（GGE）。
• 在任意最终相互作用强度下，基于GGE框架，推导出局域关联函数和广义化学势的精确表达式。
• 识别超冷原子系统中可实验观测的可积性特征，如非解析行为和振荡关联函数。

提出的方法

• 将李布-林德格模型的贝特 ansatz 解与广义吉布斯系综（GGE）相结合，用于描述相互作用淬火后非平衡稳态。
• 利用精确谱和守恒荷 $ Q_m = \sum_j \lambda_j^m $，其中 $ \lambda_j $ 为满足李布-林德格代数方程的准动量。
• 通过矩问题的解导出布居函数 $ f(\lambda) $，利用关系式 $ \varepsilon(\lambda) = \log[1/f(\lambda) - 1] $，并求解 $ \varepsilon(\lambda) $ 的非线性积分方程。
• 通过矩阵元展开和行列式表示计算非局域关联函数，包括两点函数的 $ G(x) $ 函数。
• 通过将GGE方程按 $ \lambda/\lambda_* $ 的幂级数展开，计算广义化学势 $ \beta_{2m} $，揭示其在大 $ m $ 时呈现代数衰减。
• 利用准动量的半圆分布，推导关联函数的解析近似，拟合为具有指数衰减的贝塞尔函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义吉布斯系综（GGE）是否能准确描述李布-林德格模型中相互作用淬火后的长期稳态？若因可积性导致正则系综失效，GGE是否成为必要？
• RQ2 无穷多守恒荷如何在非局域关联函数中体现？所观察到的弗里德尔型振荡的物理起源是什么？
• RQ3 长时间后准动量分布中的非解析行为具有何种函数形式？其物理起源是什么？
• RQ4 广义化学势 $ \beta_{2m} $ 在大 $ m $ 时的行为如何？这对GGE的结构意味着什么？
• RQ5 GGE描述能否用于精确计算局域与非局域关联函数？它们与热平衡预测有何不同？

主要发现

• 相互作用淬火后的长期稳态中，非局域关联函数表现出弗里德尔型振荡，振荡动量 $ \lambda_* $ 依赖于最终相互作用强度 $ \gamma $，与热态中的指数衰减形成鲜明对比。
• 由于无穷多守恒荷的集体效应，准动量密度出现非解析行为，导致动量分布中出现‘费米边缘’。
• 两点关联函数以 $ \sim 1/x^3 $ 衰减，并伴随振荡 $ \sim J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $，表明幂律衰减；而热态则呈现指数衰减。
• 广义化学势 $ \beta_{2m} $ 在大 $ m $ 时代数衰减为 $ \beta_{2m} \approx 1/(2m \lambda_*^{2m}) = 1/(2m (4n^2\gamma)^m) $，无发散但表现出强烈的集体效应。
• 当 $ \gamma $ 较大时，密度-密度关联函数近似为 $ g_2(x) \approx 1 - 2n J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $，证实了振荡性幂律衰减。
• 在 $ \gamma \gg 1 $ 极限下，逆温度 $ n^2 \beta_2 $ 近似为 $ \approx 1/(8\gamma) $，偏离正则系综预测，从而证实了GGE的必要性。