[论文解读] Interactive Realizability, Monads and Witness Extraction

Giovanni Birolo|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于交互式实现的单子框架，可在直觉主义算术（HA）扩展了Σ₀¹公式排中律（HA + EM₁）的系统中，从经典证明中提取实例。通过结合状态单子与异常单子，该框架建模了实现者在出错时的学习过程，使得通过证明归约可直接提取实例，而无需在实现解释中编码推导过程。其主要贡献在于一种句法的、基于单子的语义，该语义既支持实数的几何推理，又能通过结构化归约实现有效的实例提取。

ABSTRACT

In this dissertation we collect some results about "interactive realizability", a realizability semantics that extends the Brouwer-Heyting-Kolmogorov interpretation to (sub-)classical logic, more precisely to first-order intuitionistic arithmetic (Heyting Arithmetic, HA) extended by the law of the excluded middle restricted to simply existential formulas formulas (EM1), a system motivated by its interest in proof mining. We describe the interactive interpretation of a classical proof involving real numbers. The statement we prove is a simple but non-trivial fact about points in the real plane. The proof employs EM1 to deduce properties of the ordering on the real numbers, which is undecidable and thus problematic from a constructive point of view. We present a new set of reductions for derivations in natural deduction that can extract witnesses from closed derivations of simply existential formulas in HA + EM1. The reduction we present are inspired by the informal idea of learning by making falsifiable hypothesis and checking them, and by the interactive realizability interpretation. We extract the witnesses directly from derivations in HA + EM1 by reduction, without encoding derivations by a realizability interpretation. We give a new presentation of interactive realizability with a more explicit syntax. We express interactive realizers by means of an abstract framework that applies the monadic approach used in functional programming to modified realizability, in order to obtain less strict notions of realizability that are suitable to classical logic. In particular we use a combination of the state and exception monads in order to capture the learning-from-mistakes nature of interactive realizers.

研究动机与目标

• 开发一种句法的、基于单子的交互式实现语义，以捕捉经典证明中学习过程的本质。
• 通过证明归约，直接从HA + EM₁的推导中提取实例，避免使用外部的实现解释。
• 形式化对实数上经典推理的解释，特别是涉及不可判定序关系的情形。
• 提出一种新的、显式的句法处理方式，利用状态单子与异常单子来建模假设的测试与修正。

提出的方法

• 采用基于状态单子与异常单子的单子框架，将交互式实现者建模为在失败时能修正假设的计算过程。
• 引入一组新的证明归约规则——实例归约与置换归约，以模拟通过测试可证伪假设来实现的学习过程。
• 定义一种句法的单子实现语义，其中实现者被表达为跟踪状态并处理异常的单子计算。
• 将该框架应用于涉及实数的几何证明，展示EM₁如何支持对不可判定序性质的推理。
• 采用基于归约的实例提取：当EM₁规则的假设被证伪时，系统归约为具体实例，通过量化词自由公式的决策程序提取实例。
• 整合即时简化与置换归约，以消除冗余的证明结构，实现有效的归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用单子形式化交互式实现，以建模经典证明中的错误学习过程？
• RQ2 是否能直接从HA + EM₁的推导中提取实例，而无需在实现解释中编码它们？
• RQ3 如何通过交互式实现，以构造性方式解释实数上的经典推理，特别是涉及不可判定序关系的情形？
• RQ4 何种归约系统能有效支持实例提取，同时保持证明结构与计算内容？
• RQ5 单子语义如何捕捉交互式实现者动态的、有状态的特性，以支持证明归约？

主要发现

• 该单子框架成功利用状态单子与异常单子建模了交互式实现者，为经典证明中的错误学习过程提供了计算解释。
• 实例提取通过证明归约直接实现：当EM₁假设被证伪时，系统推导出具体实例，再通过量化词自由公式的决策程序提取实例。
• 该系统支持对一个非平凡的几何证明的解释，涉及实数，其中EM₁被用于推理不可判定的序性质。
• 置换归约与即时简化归约能有效实现推导的归约，消除结构冗余，支持实例提取。
• 实例提取过程分为两个步骤：首先，通过量化词自由公式的可判定性测试反例；其次，当假设未被使用时，消除冗余的EM₁规则实例。
• 该框架提供了一种句法的、显式的交互式实现呈现方式，避免了语义编码的需要，适用于证明挖掘与计算提取。