[论文解读] Interfaces endowed with non-constant surface energies revisited with the d'Alembert-Lagrange principle

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2013

nanoparticles nucleation surface interactions参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文利用达朗贝尔-拉格朗日原理，重新审视了毛细作用与界面力学，分析了表面能非恒定的界面，特别是表面活性剂存在下的情况。研究表明，当表面能空间分布变化时，表面能与表面张力在本质上是不同的概念，表面张力通过虚功的边界条件自然导出，从而导致拉普拉斯方程和杨-杜普雷方程的修正。

ABSTRACT

The equation of motions and the conditions on surfaces and edges between fluids and solids in presence of non-constant surface energies, as in the case of surfactants attached to the fluid particles at the interfaces, are revisited under the principle of virtual work. We point out that adequate behaviors of surface concentrations may drastically modify the surface tension which naturally appears in the Laplace and the Young-Dupré equations. Thus, the principle of virtual work points out a strong difference between the two revisited concepts of surface energy and surface tension.

研究动机与目标

• 利用虚功原理，重新表述具有非恒定表面能的流体的运动方程和界面边界条件。
• 在不作热力学假设的前提下，阐明当表面能沿界面变化时，表面能与表面张力之间的根本区别。
• 将表面活性剂建模为表面浓度依赖的不可移动表面活性物质，聚焦其对界面力的影响，分析其机械效应。
• 推导考虑表面活性剂分布引起的表面能空间变化的修正拉普拉斯方程和杨-杜普雷方程。
• 建立一种变分框架，使表面张力自然地从虚功泛函中导出，而非预先假设。

提出的方法

• 将达朗贝尔-拉格朗日虚功原理应用于具有独立表面材料特性的第一梯度连续体理论，其中界面被嵌入。
• 引入一种依赖于表面质量浓度的表面能本构关系，特别将表面活性剂建模为不可移动的表面物种。
• 利用微分几何和运动学关系，通过形变梯度 F 跟踪变形过程中的表面量（如法向量、面积元）。
• 推导表面能的虚功泛函，并通过分部积分提取包含表面张力的边界条件。
• 应用虚位移场 ζ 推导表面能的变分，得到涉及表面散度和法向分量的表达式。
• 利用向量微分恒等式（如曲面上的旋度与散度关系），将表面积分转化为沿接触线的边界积分，从而导出线张力项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当表面能空间非均匀时（如由表面活性剂引起），其如何改变经典的拉普拉斯方程和杨-杜普雷方程？
• RQ2 当表面能沿界面不恒定时，表面能与表面张力之间的根本区别是什么？
• RQ3 虚功原理如何将表面张力作为机械响应而非热力学输入来生成？
• RQ4 不可移动表面活性剂（表面能依赖于浓度）对界面运动和稳定性的运动学与动力学后果是什么？
• RQ5 达朗贝尔-拉格朗日原理能否系统地推广至具有可变表面能的界面，以推导一致的边界条件？

主要发现

• 当表面能空间变化时，表面能与表面张力并非等价；表面张力作为虚功泛函的导出机械量自然出现。
• 表面张力 γ 与表面能 σ 对表面浓度 c 的导数相关，关系为 γ = −cσ'(c)，表明浓度梯度与界面力之间存在直接联系。
• 修正的拉普拉斯方程包含一个与曲率相关的项 γ/Rm（Rm 为平均曲率）以及一个反映表面张力空间变化的 γ 的切向梯度项。
• 接触线处的边界条件包含一个与 γ 成正比的线张力项，该线张力项由虚功变分的表面积分导出。
• 表面能虚功变分导致一个表面力密度，其涉及虚位移的表面散度，以及一个与表面速度梯度相关的法向分量。
• 推导结果表明，表面张力并非材料常数，而是对表面能梯度的动态响应，尤其在表面活性剂引起的非均匀性下表现明显。