[论文解读] Interior and up to the boundary regularity for the fractional $g$-Laplacian: the convex case

Julián Fernández Bonder, Ariel Salort+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文在有界 $C^{1,1}$ 域中，针对凸 Young 函数 $g$ 的假设下，建立了分数阶 $g$-拉普拉斯狄利克雷问题弱解的内部及边界 Hölder 正则性估计。该工作首次在文献中提供了具有有界右端项的分数阶 Orlicz-Sobolev 空间中积分微分方程的正则性结果。

ABSTRACT

We establish interior and up to the boundary Hölder regularity estimates for weak solutions of the Dirichlet problem for the fractional $g-$Laplacian with bounded right hand side and $g$ convex. These are the first regularity results available in the literature for integro-differential equations in the context of fractional Orlicz-Sobolev spaces.

研究动机与目标

• 建立分数阶 $g$-拉普拉斯狄利克雷问题弱解的内部及边界 Hölder 正则性。
• 将正则性理论扩展至分数阶 Orlicz-Sobolev 空间中非一致椭圆、非局部算子的情形。
• 解决文献中关于具一般凸 $g$-增长的积分微分方程缺乏正则性结果的问题。
• 分析解在边界附近的性质，特别是当数据 $f \in L^\infty(\Omega)$ 有界时，$u/d^s$ 的正则性。

提出的方法

• 利用涉及 Young 函数 $G$ 的导数 $g = G'$ 的主值积分定义分数阶 $g$-拉普拉斯算子。
• 应用非局部椭圆 PDE 的技术，包括分数阶 Orlicz-Sobolev 空间中的比较原理与截断论证。
• 采用扰动论证：对于解 $u$ 与紧支集函数 $v$，证明 $u+v$ 满足具有新右端项 $h$ 的修正方程。
• 依赖于 $g$ 的 $\Delta_2$-条件与增长控制，以确保弱形式中可积性与收敛性。
• 利用光滑紧支集函数的稠密性与控制收敛定理，实现从弱解到逐点解与强解的过渡。
• 通过将解与分数阶拉普拉斯算子比较，并借助 $s$-调和函数的已知结果，建立正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g$ 为凸函数且 $f \in L^\infty(\Omega)$ 时，分数阶 $g$-拉普拉斯算子弱解的 Hölder 正则性如何？
• RQ2 在 $C^{1,1}$ 域边界附近，解的行为如何，特别是商 $u/d^s$ 的性质如何？
• RQ3 是否可在经典 $p$-拉普拉斯情形之外，为分数阶 Orlicz-Sobolev 空间中的非局部算子建立正则性估计？
• RQ4 对 $g$ 与定义域的何种条件可保证 $u/d^s$ 属于边界上连续的 Hölder 空间？
• RQ5 通过紧支集函数对解进行扰动，如何影响分数阶 $g$-拉普拉斯算子弱解的结构？

主要发现

• 当 $f \in L^\infty(\Omega)$ 且 $\Omega$ 为有界 $C^{1,1}$ 域时，方程 $(-\Delta_g)^s u = f$ 在 $\Omega$ 中的弱解 $u$ 满足对所有 $\varepsilon > 0$，有 $u/d^s \in C^{s-\varepsilon}(\overline{\Omega})$。
• 解 $u$ 在 $\Omega$ 内局部 Hölder 连续，其 Hölder 指数依赖于 $s$ 与 $g$ 的增长性。
• 当 $v$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 中紧支集时，扰动 $u + v$ 满足 $(-\Delta_g)^s (u+v) = f + h$ 在 $\Omega$ 中，其中 $h$ 由 $g$-项的差值显式定义。
• 该方法确保 $u+v \in \widetilde{W}^{s,G}_{\text{loc}}(\Omega)$，且此类扰动下弱形式保持不变。
• 结果在 $g$ 满足 $\Delta_2$-条件时成立，该条件保证 Orlicz-Sobolev 空间性质良好且积分有限。
• 分析确认分数阶 $g$-拉普拉斯算子的正则性理论可超越一致椭圆情形，即使 $g$ 非幂次型亦成立。