[论文解读] Interior Eigensolver for Sparse Hermitian Definite Matrices Based on Zolotarev's Functions

Yingzhou Li, Haizhao Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 36被引用 3

一句话总结

该论文提出ZoloEig，一种用于稀疏厄米特型广义特征值问题的新型内部特征值求解器，采用佐洛塔列夫（Zolotarev）对符号函数的有理逼近方法。通过共形映射组合有理函数，构建了极点数量少于现有方法的高阶滤波器，从而实现通过移位不变的GMRES和快速直接求解器进行高效的谱投影，相较于FEAST在顺序测试中表现出更优性能，且矩阵分解次数更少。

ABSTRACT

This paper proposes an efficient method for computing selected generalized eigenpairs of a sparse Hermitian definite matrix pencil $(A,B)$. Based on Zolotarev's best rational function approximations of the signum function and conformal mapping techniques, we construct the best rational function approximation of a rectangular function supported on an arbitrary interval via function compositions with partial fraction representations. This new best rational function approximation can be applied to construct spectrum filters of $(A,B)$ with a smaller number of poles than a direct construction without function compositions. Combining fast direct solvers and the shift-invariant generalized minimal residual method, a hybrid fast algorithm is proposed to apply spectral filters efficiently. Compared to the state-of-the-art algorithm FEAST, the proposed rational function approximation is more efficient when sparse matrix factorizations are required to solve multi-shift linear systems in the eigensolver, since the smaller number of matrix factorizations is needed in our method. The efficiency and stability of the proposed method are demonstrated by numerical examples from computational chemistry.

研究动机与目标

• 开发一种高效方法，用于计算稀疏厄米特型确定性矩阵束（A, B）在指定区间内的选定特征对。
• 减少用于谱投影的有理滤波器中的极点数量，从而降低求解多个移位线性系统的计算成本。
• 利用佐洛塔列夫对符号函数的最优有理逼近及共形映射，构建具有最小逼近误差的高阶滤波器。
• 设计一种混合算法，结合快速直接求解器与移位不变的GMRES，以高效应用谱滤波器。

提出的方法

• 通过佐洛塔列夫符号函数逼近器与共形映射的函数复合，构造区间 (a, b) 上矩形函数的有理逼近。
• 推导所得有理函数的部分分式分解，将其表示为极点之和，从而实现高效线性系统求解。
• 通过有理函数应用，将滤波器 R_ab(B⁻¹A) 应用于投影至目标特征子空间。
• 利用移位不变的GMRES高效求解多个移位系统 (A - σ_jB)x = b，利用Krylov子空间结构。
• 对单个移位系统使用稀疏直接求解器，最小化填充并实现高精度。
• 将滤波器构造与迭代求解器结合，实现在特征对计算中的高效性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过佐洛塔列夫对符号函数的最佳有理逼近的组合，获得适用于任意谱区间的更优有理滤波器？
• RQ2 与基于轮廓求积的标准滤波器相比，该滤波器是否在更少极点条件下实现更高的逼近精度？
• RQ3 能否利用Krylov子空间的移位不变特性，降低特征求解器中求解多个移位系统的成本？
• RQ4 与当前最先进的FEAST算法相比，该方法在稀疏广义特征值问题上的效率与稳定性如何？
• RQ5 该滤波器构造是否可推广至其他矩阵类型，或可用作相关求解器中的预条件子？

主要发现

• 由于所需矩阵分解次数更少，所提出的ZoloEig方法在顺序计算中性能优于FEAST。
• 通过函数复合与共形映射构造的有理滤波器，对目标矩形函数表现出最优一致逼近误差。
• 与直接有理逼近方法相比，实现高精度谱投影所需的极点数量显著减少。
• 结合快速直接求解器与移位不变GMRES的混合算法，使谱滤波器的应用成本为每个O(1)特征对O(F_N)，其中F_N为求解一个移位系统的成本。
• 计算化学中的数值结果表明该方法具有高效性与数值稳定性。
• 滤波器结构具有通用性，可作为不定线性系统的预条件子，或用于轨道最小化方法中。