[论文解读] Interior Point Method for Dynamic Constrained Optimization in Continuous Time

Mahyar Fazlyab, Santiago Paternain+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种连续时间内点法，用于追踪时变目标函数与约束条件的凸动态约束优化问题的最优解。通过在时变对数障碍框架下结合基于时间导数的预测与基于牛顿法的校正，该方法在标准凸性与可微性假设下实现了渐近精确追踪，消除了稳态最优性间隙。

ABSTRACT

This paper considers a class of convex optimization problems where both, the objective function and the constraints, have a continuously varying dependence on time. Our goal is to develop an algorithm to track the optimal solution as it continuously changes over time inside or on the boundary of the dynamic feasible set. We develop an interior point method that asymptotically succeeds in tracking this optimal point in nonstationary settings. The method utilizes a time varying constraint slack and a prediction-correction structure that relies on time derivatives of functions and constraints and Newton steps in the spatial domain. Error free tracking is guaranteed under customary assumptions on the optimization problems and time differentiability of objective and constraints. The effectiveness of the method is illustrated in a problem that involves multiple agents tracking multiple targets.

研究动机与目标

• 解决在目标函数与约束条件随时间连续演化时，追踪最优解的挑战。
• 克服标准迭代方法在非平稳问题中固有的稳态最优性间隙。
• 开发一种动态内点法，利用时间导数进行预测，通过牛顿步长进行校正，以保持精度。
• 在无需变化率趋于零的条件下，建立追踪真实时变最优解的理论收敛保证。
• 在涉及动态约束的多智能体目标追踪场景中，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法采用时变对数障碍函数来松弛约束并惩罚违反行为，确保在动态可行集内保持可行性。
• 引入随时间变化的约束松弛变量，随时间减小，保证约束的渐近满足。
• 预测步骤利用目标函数与约束函数的时间导数，预测最优解的漂移。
• 校正步骤在空间域中应用牛顿法，将预测轨迹校正至当前最优点。
• 该算法在连续时间框架中结合预测与校正，其动力学由微分方程控制，确保对障碍函数的梯度下降。
• 通过保持障碍函数梯度范数递减，并受指数衰减项有界，确保全局收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将内点法改进以追踪具有动态约束的时变凸优化问题的最优解？
• RQ2 基于时间导数与牛顿步长的预测-校正结构是否能在连续时间下实现无误差追踪？
• RQ3 在何种条件下，该方法能无稳态最优性间隙地收敛至真实时变最优解？
• RQ4 时变障碍函数与松弛参数如何共同维持可行性与收敛性？
• RQ5 该方法能否有效应用于实时控制问题，如多智能体目标追踪？

主要发现

• 所提方法在非平稳环境下实现了最优解的渐近精确追踪，无稳态最优性间隙。
• 障碍函数的梯度范数随时间呈指数衰减，确保收敛至最优轨迹。
• 计算轨迹与真实最优解之间的误差呈指数衰减，有界于 $ \|\tilde{\textbf{z}}(t)-\tilde{\textbf{x}}^{\star}(t)\|_{2} \leq \frac{2}{m}\|\nabla_{\textbf{x}}\tilde{\Phi}(\textbf{x}_{0},0)\|_{2}e^{-\sigma t} $。
• 通过使用随时间变化的约束松弛变量，确保对所有 $ i $ 与 $ t $ 满足 $ f_i(\tilde{\textbf{z}}^\star(t),t) < s(t) $，从而保证可行性。
• 在标准假设下理论收敛成立：目标函数强凸性、函数的二阶连续可微性，以及时间导数有界。
• 该方法在多智能体追踪问题中得到验证，展示了在动态、约束环境下实际应用的有效性。