[论文解读] Interior regularity of fully nonlinear degenerate elliptic equations, I: Bellman equations with constant coefficients

Wei Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了常系数随机最优控制问题价值函数的内部 $C^{k,1}$-正则性，证明当终端收益和运行收益为 $C^{k,1}$ 时，价值函数在局部继承这种光滑性。主要贡献在于，在一般结构假设下，首次获得了退化 Bellman 方程（包括 Monge-Ampère 方程和 Hessian 型方程）的新的 $C^{1,1}$-正则性结果。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers on the interior regularity of fully nonlinear degenerate elliptic equations. We consider a stochastic optimal control problem in which the diffusion coefficients, drift coefficients and discount factor are independent of the spacial variables. Under suitable assumptions, for $k=0,1$, when the terminal and running payoffs are globally $C^{k,1}$, we obtain the $C^{k,1}$-smoothness of the value function, which yields the existence and uniqueness of the solution to the associated Dirichlet problem for the degenerate Bellman equation.

研究动机与目标

• 建立常扩散、漂移和贴现系数下随机最优控制问题价值函数的内部 $C^{k,1}$-正则性。
• 解决在扩散系数不具非退化性时，二阶椭圆 PDE 中退化与完全非线性结构的挑战。
• 在收益函数的正则性假设最小的前提下，提供解的一阶和二阶导数的精确内部估计。
• 将正则性理论扩展至在 Hessian 上关于正交共轭变换不变的完全非线性退化椭圆方程，如 Monge-Ampère 方程。
• 表明 $C^{k,1}$ 边界数据不能保证全局 $C^{k,1}$ 正则性，因此在一般情况下，内部正则性是可达到的最佳结果。

提出的方法

• 分析定义在域 $D \subset \mathbb{R}^d$ 上的时齐随机控制问题的价值函数，其中 Itô 扩散和控制动态具有常系数。
• 使用概率方法，包括 Itô 公式和价值函数的随机表示，推导正则性估计。
• 通过添加二次校正项的扰动方法处理运行收益的凸性条件，从而在凸性假设下实现 $C^{1,1}$-正则性。
• 利用动态规划原理推导出具有常系数的退化 Bellman 方程。
• 结合矩估计与涉及首次退出时间及退出分布的比较方法，建立一阶和二阶导数的内部估计。
• 采用障碍函数技术，利用 $\overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$ 和 $\mathrm{B}_1(x,\xi)$ 控制子水平集边界附近二阶导数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，常系数随机控制问题的价值函数在定义域内部表现出 $C^{1,1}$-正则性？
• RQ2 在不假设扩散系数非退化的情况下，能否为退化 Bellman 方程建立内部 $C^{1,1}$-正则性？
• RQ3 运行收益和终端收益函数的正则性如何影响价值函数的正则性？
• RQ4 退化 Bellman 方程解的一阶和二阶导数的精确内部估计是什么？
• RQ5 在多大程度上，边界数据的 $C^{k,1}$-正则性能向内部传播？为何全局正则性无法保证？

主要发现

• 若 $f^\alpha, g \in C^{0,1}(\bar{D})$，则价值函数 $v \in C^{0,1}_{\text{loc}}(D) \cap C^0(\bar{D})$，确立了内部 $C^{0,1}$-正则性。
• 若 $f^\alpha \in C^{0,1}(\bar{D})$，$g \in C^{1,1}(\bar{D})$，且存在某 $K$ 使得 $f^\alpha + K|x|^2$ 在 $D$ 上为凸函数，则在添加二次校正项后，$v$ 为凸函数。
• 在扩散项弱非退化条件下，有 $v \in C^{1,1}_{\text{loc}}(D) \cap C^{0,1}(\bar{D})$，且该类中 Bellman 方程有唯一解。
• 提供了一阶和二阶导数的内部估计：$\|Dv\|_{C^{0,1}(B_r(x))} \leq N \cdot \frac{1}{\text{dist}(x,\partial D)} \|v\|_{L^\infty}$，且具有精确的爆破速率。
• 二阶导数估计满足 $|(-v)_{(\xi)(\xi)}(x)| \leq N \overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$，其中 $\overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$ 控制边界附近的增长。
• 该结果在最优性意义上成立：$C^{k,1}$ 边界数据不能推出全局 $C^{k,1}$ 正则性，因此内部正则性是普遍情况下可达到的最佳结果。