[论文解读] Interiors of continuous images of the middle-third Cantor set

Kan Jiang, Lifeng Xi|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了光滑函数在中三分 Cantor 集的笛卡尔积上的连续像具有非空内部的充分条件。利用隐函数定理和偏导数的局部分析，证明了若在乘积集中的某一点，偏导数之比严格介于 1 和 3 之间，则像包含一个开区间。该结果解决了若干经典函数（如单项式、幂和以及三角函数复合）在 Cantor 集上像的内部点存在性问题。

ABSTRACT

Let $C$ be the middle-third Cantor set, and $f$ a continuous function defined on an open set $U\subset \mathbb{R}^{2}$. Denote the image \begin{equation*} f_{U}(C,C)=\{f(x,y):(x,y)\in (C imes C)\cap U\}. \end{equation*} If $\partial _{x}f$, $\partial _{y}f$ are continuous on $U,$ and there is a point $(x_{0},y_{0})\in (C imes C)\cap U$ such that \begin{equation*} 1

研究动机与目标

• 确定光滑函数在两个中三分 Cantor 集的乘积上的连续像何时具有非空内部。
• 解决 Cantor 集上算术运算（如乘法或加法）的像是否包含内部点的开放问题。
• 通过提供自相似集像中内部存在的通用判据，拓展动力系统与分形几何中的结果。
• 解决函数 $x^\alpha y^\beta$、$x^\alpha \pm y^\alpha$、$x \pm y^2$ 以及 $\sin(x)\cos(y)$ 在限制于 $C \times C$ 时，其像是否具有非空内部的问题。

提出的方法

• 应用隐函数定理，分析光滑函数在 $C \times C$ 上某点附近的行为，其中偏导数之比满足 $1 < |\partial_x f / \partial_y f| < 3$。
• 使用 Cantor 集的二进制分解为基本区间和基本正方形，构造具有受控像扩张的嵌套集合。
• 通过使用方向增量 $t$ 和 $3t$ 的扰动论证，证明基本正方形在 $f$ 下的像包含重叠区间，从而表明像包含一个区间。
• 定义辅助函数 $H_1, H_2, H_3, H_4$ 以比较子正方形角点的值，证明非空重叠，从而实现区间覆盖。
• 通过对称性和符号变换（如 $f(x,y) \to -f(x,y)$、$f(x,y) \to f(-x,y)$）将一般情形约化为偏导数为正的情形。
• 通过计算偏导数并验证 $C \times C$ 中特定点的比值条件，验证该条件在具体函数中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，光滑函数 $f$ 在 $C \times C$ 上的连续像具有非空内部？
• RQ2 该内部存在性判据是否可应用于经典函数，如 $x^\alpha y^\beta$、$x^\alpha \pm y^\alpha$、$x \pm y^2$ 以及 $\sin(x)\cos(y)$？
• RQ3 是否存在一种通用方法，用于判断光滑函数在自相似集上的像是否具有非空内部？
• RQ4 偏导数之比如何影响 $C \times C$ 的像的拓扑结构？

主要发现

• 若在 $(C \times C) \cap U$ 中某点，偏导数之比 $|\partial_x f / \partial_y f|$ 或 $|\partial_y f / \partial_x f|$ 严格介于 1 和 3 之间，则 $f_U(C,C)$ 具有非空内部。
• 对于 $f(x,y) = x^\alpha y^\beta$ 且 $\alpha\beta \neq 0$，通过选取 $x = (2/3) \cdot 3^{-k}$ 和 $y = 1$ 满足导数比条件，验证了像 $f_U(C,C)$ 具有非空内部。
• 对于 $f(x,y) = x^\alpha \pm y^\alpha$ 且 $\alpha \neq 0$，像具有非空内部，尤其当 $\alpha = 1$ 时（即 $C + C = [0,2]$），或当 $x/y$ 接近 1 时。
• 对于 $f(x,y) = x \pm y^2$，像具有非空内部，通过在 $(x_0, y_0) = (8/9, 1/3)$ 处计算导数比，得到 $|1/(2y_0)| = 3/2 \in (1,3)$。
• 对于 $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$，像具有非空内部，经验证在 $(x_0, y_0) = (2/3, 2/3)$ 处，绝对偏导数之比约为 1.615，位于所需区间内。