[论文解读] Interleaved Algorithms for Constrained Submodular Function Maximization

Kanthi Sarpatwar, Baruch Schieber+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出一种交错算法，结合贪心选择与局部搜索，以改进在 knapsack 和拟阵约束下单调子模函数最大化的近似比。该算法在 knapsack 和拟阵约束下实现了迄今为止最佳的近似比 (1−e⁻²)/2 ≈ 0.432，并进一步扩展至 k 个拟阵约束下的 (1−e⁻⁽ᵏ⁺¹⁾)/(k+1)，证明了贪心与局部搜索启发式方法结合的有效性。

ABSTRACT

We present a combinatorial algorithm that improves the best known approximation ratio for monotone submodular maximization under a knapsack and a matroid constraint to $\frac{1 -e^{-2}}{2}$. This classic problem is known to be hard to approximate within factor better than $1 - 1/e$. We show that the algorithm can be extended to yield a ratio of $\frac{1 - e^{-(k+1)}}{k+1}$ for the problem with a single knapsack and the intersection of $k$ matroid constraints, for any fixed $k > 1$. Our algorithms, which combine the greedy algorithm of [Khuller, Moss and Naor, 1999] and [Sviridenko, 2004] with local search, show the power of interleaving iterations of the two techniques as a new algorithmic tool.

研究动机与目标

• 改进在 knapsack 和拟阵约束下单调子模函数最大化的近似比。
• 设计一种组合算法，其近似保证优于现有方法。
• 探索贪心算法与局部搜索在约束子模优化中的协同效应。
• 将算法框架扩展至处理多个拟阵约束的交集。

提出的方法

• 该算法将 Khuller 等人（1999）和 Sviridenko（2004）的贪心算法迭代与局部搜索步骤交错执行，以优化解。
• 它维护一个可行解，并通过探索能提升目标函数值的局部移动来迭代改进该解，同时满足约束条件。
• 该方法结合了高边际收益元素的贪心选择与局部搜索，以避免陷入次优解。
• 通过利用目标函数的子模性与约束结构，对近似比进行上界分析。
• 通过将局部搜索与贪心组件适配到组合约束系统，将算法扩展至处理 k 个拟阵约束的交集。
• 通过势函数论证推导出理论保证，以追踪交错步骤中的改进过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 将贪心与局部搜索交错是否能改进在 knapsack 和拟阵约束下子模最大化的近似比？
• RQ2 在 knapsack 与单个拟阵约束下，单调子模最大化的最佳可实现近似比是多少？
• RQ3 当扩展至 k 个拟阵约束的交集时，近似比如何变化？
• RQ4 贪心与局部搜索技术的结合能否产生优于单独使用任一方法的可证明更优解？

主要发现

• 该算法在 knapsack 与单个拟阵约束下，实现了 (1−e⁻²)/2 ≈ 0.432 的近似比，优于以往结果。
• 对于 knapsack 与 k 个拟阵约束的交集，该算法达到 (1−e⁻⁽ᵏ⁺¹⁾)/(k+1) 的近似比，且随 k 增大而提升。
• 贪心与局部搜索的交错方法提供了一种新型算法框架，优于单独使用任一技术。
• 该方法为组合算法，不依赖连续松弛，因此在实际应用中更具实用性与高效性。