[论文解读] Intermediate Assouad-like dimensions

Ignacio García‐Fernández, Kathryn E. Hare+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文引入了一类新的双李普希茨不变维数——中间阿苏阿德型维数——通过函数Φ在上盒维数与阿苏阿德维数之间插值定义。通过改变Φ，作者构建了一个连续的维数族，以细化关于局部尺度行为的几何信息，并证明了存在康托集，其在拟阿苏阿德维数与阿苏阿德维数之间具有完整的中间维数区间。

ABSTRACT

We introduce and study bi-Lipschitz-invariant dimensions that range between the box and Assouad dimensions. The quasi-Assouad dimensions and $ heta$-spectrum are other special examples of these intermediate dimensions. These dimensions are localized, like Assouad dimensions, but vary in the depth of scale which is considered, thus they provide very refined geometric information. We investigate the relationship between these and the familiar dimensions. We construct a Cantor set with a non-trivial interval of dimensions, the endpoints of this interval being given by the quasi-Assouad and Assouad dimensions of the set. We study continuity-like properties of the dimensions. In contrast with the Assouad-type dimensions, we see that decreasing sets in $\mathbb{R}$ with decreasing gaps need not have dimension $0$ or $1$. Formulas are given for the dimensions of Cantor-like sets and these are used in some of our constructions. We also show that, as is the case for Hausdorff and Assouad dimensions, the Cantor set and the decreasing set have the extreme dimensions among all compact sets in $\mathbb{R}$ whose complementary set consists of open intervals of the same lengths.

研究动机与目标

• 本文旨在在上盒维数与阿苏阿德维数之间发展一类更精细的双李普希茨不变维数族。
• 研究这些中间维数的几何与分析性质，特别是其在分形集（如康托集）上的表现。
• 通过引入连续的维数尺度，解决康托集重排下维数稳定性的经典问题。
• 旨在表征重排后的集合在何种条件下保持或改变其维数，特别是与Φ函数的渐近行为的关系。

提出的方法

• 作者通过限制尺度比 r ≤ R^{1+Φ(R)}（当 r ≤ R 时）来定义上、下Φ-维数，从而推广了阿苏阿德维数与θ-阿苏阿德谱。
• 利用间隙递减的康托型集的递归构造，构建出中间维数在区间内连续变化的示例。
• 证明依赖于估计覆盖与集合相交的半径为R的球所需的r-球数量，使用覆盖论证与几何界。
• 通过分析构造集中间隙的衰减速率与块结构，建立Φ-维数的连续性与稳定性性质。
• 关键的技术工具是统一覆盖估计（引理1）：Nr(B(z,R) ∩ Ak) ≤ C (min(|Ak|, R)/r)^d，用以控制覆盖数的增长。
• 分析Φ(x)在x → 0时的渐近行为，表明Φ(x) → ∞时维数趋于上盒维数，而Φ(x) → δ ∈ (0,∞) 时则对应于θ-阿苏阿德谱，其中θ = (1+δ)^{-1}。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个紧致集在R中是否可能在拟阿苏阿德维数与阿苏阿德维数之间具有连续的中间维数区间？
• RQ2 中间Φ-维数在双李普希茨映射与集合重排下如何表现？
• RQ3 Φ(x)的渐近衰减速率与所得维数值之间存在何种关系？
• RQ4 间隙递减的集合是否必然具有0或1维数，如阿苏阿德情形所示？
• RQ5 中间维数是否能检测到标准阿苏阿德维数或上盒维数无法分辨的更精细几何差异？

主要发现

• 作者构造了一个康托集 E = A ∪ B ∈ Ca，使得当Φ变化时，dimΦE在[d, 1]区间内连续变化，端点分别对应于拟阿苏阿德维数与阿苏阿德维数。
• 对于任意 d ∈ [dimΦCa, 1)，存在一个集合 E ∈ Ca，使得 dimΦE = d，表明中间维数可实现完整的值区间。
• 当Φ(x) → ∞（x → 0）时，上、下Φ-维数收敛于上、下盒维数。
• 当Φ(x) → δ ∈ (0, ∞) 时，上、下Φ-维数与θ-阿苏阿德谱一致，其中θ = (1+δ)^{-1}。
• 所构造集合A ∪ B的拟阿苏阿德维数恰好为d，即使间隙递减，表明此类集合不必然具有0或1维数。
• 并集结果（命题2.4）保证了对于整个集合E = A ∪ B，有dimΦE = d，因为dimΦA = d且dimΦB = dimΦCa。