[论文解读] Intermediate dimensions of Bedford-McMullen carpets with applications to Lipschitz equivalence

Amlan Banaji, István Kolossváry|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文为 Bedford–McMullen 毛毯在全范围 $\theta \in [0,1]$ 内的中间维数建立了精确公式，使用了大偏差率函数。结果表明，中间维数在可数多个相变点之间严格递增、解析且严格凹，并通过揭示两个毛毯具有相等中间维数当且仅当其均匀伯努利测度的 Hausdorff 多分形谱相等，从而将其与多分形分析联系起来，这意味着这是两个毛毯具有双李普希茨等价性的必要条件。

ABSTRACT

Intermediate dimensions were recently introduced to provide a spectrum of dimensions interpolating between Hausdorff and box-counting dimensions for fractals where these differ. In particular, the self-affine Bedford-McMullen carpets are a natural case for investigation, but until now only very rough bounds for their intermediate dimensions have been found. In this paper, we determine a precise formula for the intermediate dimensions $\dim_{\, θ}Λ$ of any Bedford-McMullen carpet $Λ$ for the whole spectrum of $θ\in [0,1]$, in terms of a certain large deviations rate function. The intermediate dimensions exist and are strictly increasing in $θ$, and the function $θ\mapsto \dim_{\, θ}Λ$ exhibits interesting features not witnessed on any previous example, such as having countably many phase transitions, between which it is analytic and strictly concave. We make an unexpected connection to multifractal analysis by showing that two carpets with non-uniform vertical fibres have equal intermediate dimensions if and only if the Hausdorff multifractal spectra of the uniform Bernoulli measures on the two carpets are equal. Since intermediate dimensions are bi-Lipschitz invariant, this shows that the equality of these multifractal spectra is a necessary condition for two such carpets to be Lipschitz equivalent.

研究动机与目标

• 确定 Bedford–McMullen 毛毯在所有 $\theta \in [0,1]$ 下的确切中间维数。
• 分析中间维数函数 $\theta \mapsto \dim_\theta \Lambda$ 的几何与解析性质，包括其单调性、解析性与凹性。
• 通过将中间维数的相等性与 Hausdorff 多分形谱的相等性联系起来，建立中间维数与多分形分析之间的深刻联系。
• 将此联系应用于双李普希茨等价性问题，表明相等的多分形谱是两个毛毯具有双李普希茨等价性的必要条件。

提出的方法

• 通过与毛毯中垂直纤维分布相关的大偏差率函数，推导出中间维数 $\dim_\theta \Lambda$ 的公式。
• 应用大偏差理论中的类型法，分析在不同尺度下覆盖集的渐近行为。
• 利用近似方块及其覆盖成本的递归构造，来在 $\theta$-中间维数约束下界定覆盖的 $s$-成本。
• 依赖生成函数的 Legendre 变换来关联中间维数与率函数，并建立等价条件。
• 对每一级中圆柱体数量的渐近增长进行详细分析，使用有序计数 $N_{\hat{\imath}}$ 和权重 $R_{\hat{\imath}}$ 来建模垂直纤维的分布。
• 通过证明率函数 $I(t)$ 与 $I'(t - \gamma \log(M'/M))$ 的相等性可推出中间维数的相等性，从而证明中间维数的等价性，该证明基于序列 $t_\ell(s)$ 的递归论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $\theta \in [0,1]$，Bedford–McMullen 毛毯 $\Lambda$ 的中间维数 $\dim_\theta \Lambda$ 的精确公式是什么？
• RQ2 函数 $\theta \mapsto \dim_\theta \Lambda$ 的行为如何——具体而言，它是否在相变点之间严格递增、解析且严格凹？
• RQ3 中间维数与毛毯上均匀伯努利测度的多分形谱之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，两个 Bedford–McMullen 毛毯具有相等的中间维数？
• RQ5 相等的 Hausdorff 多分形谱是否是两个此类毛毯具有双李普希茨等价性的必要条件？

主要发现

• 中间维数 $\dim_\theta \Lambda$ 在可数多个相变点之间的每个区间上严格递增且解析，且在每个此类区间上严格凹。
• 在控制毛毯中圆柱体计数渐近尺度的大偏差率函数 $I(t)$ 的术语下，推导出了 $\dim_\theta \Lambda$ 的精确公式。
• 两个 Bedford–McMullen 毛毯具有相等的中间维数，当且仅当其均匀伯努利测度的 Hausdorff 多分形谱相等。
• 中间维数的相等性意味着率函数 $I(t)$ 与 $I'(t - \gamma \log(M'/M))$ 之间存在一个平移关系，这反过来强制两个毛毯的纤维计数与权重之间存在精确的标度关系。
• 中间维数函数表现出一种新颖的结构，具有可数多个相变点，这是此前研究的任何分形集所未观察到的特征。
• 作为上述结果的推论，对于具有非均匀垂直纤维的毛毯，多分形谱的相等性是其双李普希茨等价性的必要条件。