[论文解读] Intermediate Disorder Regime for 1+1 Dimensional Directed Polymers

Tom Alberts, Konstantin Khanin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 22

一句话总结

本文通过将逆温度缩放为 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$，为 1+1 维定向聚合物引入了一种中间无序 regime，揭示了与弱无序和强无序均不同的独特波动行为。尽管其波动指数（$\zeta = 1/2$，$\chi = 0$）与简单随机游走一致，但聚合物测度表现出非自平均波动，受无序影响，收敛于一个由具有交叉与 GUE Tracy-Widom 边际分布的平稳过程所决定的随机绝对连续测度。

ABSTRACT

We introduce a new disorder regime for directed polymers in dimension $1+1$ that sits between the weak and strong disorder regimes. We call it the intermediate disorder regime. It is accessed by scaling the inverse temperature parameter $\beta$ to zero as the polymer length $n$ tends to infinity. The natural choice of scaling is $\beta_n:=\beta n^{-1/4}$. We show that the polymer measure under this scaling has previously unseen behavior. While the fluctuation exponents of the polymer endpoint and the log partition function are identical to those for simple random walk ($\zeta=1/2,\chi=0$), the fluctuations themselves are different. These fluctuations are still influenced by the random environment, and there is no self-averaging of the polymer measure. In particular, the random distribution of the polymer endpoint converges in law (under a diffusive scaling of space) to a random absolutely continuous measure on the real line. The randomness of the measure is inherited from a stationary process $A_{\beta}$ that has the recently discovered crossover distributions as its one-point marginals, which for large $\beta$ become the GUE Tracy-Widom distribution. We also prove existence of a limiting law for the four-parameter field of polymer transition probabilities that can be described by the stochastic heat equation. In particular, in this weak noise limit, we obtain the convergence of the point-to-point free energy fluctuations to the GUE Tracy-Widom distribution. We emphasize that the scaling behaviour obtained is universal and does not depend on the law of the disorder.

研究动机与目标

• 识别 1+1D 方向聚合物中位于弱无序与强无序之间的新无序 regime。
• 分析在弱噪声缩放 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ 下聚合物测度的极限缩放行为。
• 表征聚合物末端位置的极限分布及其对随机环境的依赖性。
• 建立聚合物转移概率四参数场的极限分布的存在性。
• 证明在弱噪声极限下，点对点自由能波动收敛于 GUE Tracy-Widom 分布。

提出的方法

• 引入缩放 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ 以进入中间无序 regime，连接弱无序与强无序。
• 分析扩散缩放下的聚合物末端测度，证明其在分布上收敛于 $\mathbb{R}$ 上的随机绝对连续测度。
• 利用具有交叉分布边际的平稳过程 $A_\beta$ 描述极限末端测度中的随机性。
• 建立聚合物转移概率场收敛于随机热方程的解。
• 借助关于交叉分布与 Tracy-Widom 分布的已知结果，识别极限自由能波动。
• 证明缩放行为的普遍性，其独立于无序的具体分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当逆温度缩放为 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ 时，1+1 维方向聚合物会发生什么？
• RQ2 在此中间 regime 下，聚合物末端与对数配分函数的波动行为如何？
• RQ3 聚合物测度是否自平均，或在极限下仍受随机环境影响？
• RQ4 在扩散缩放下，聚合物转移概率场的极限分布是什么？
• RQ5 在此 regime 下，点对点自由能波动是否收敛于 GUE Tracy-Widom 分布？

主要发现

• 聚合物末端与对数配分函数的波动指数分别为 $\zeta = 1/2$ 与 $\chi = 0$，与简单随机游走一致。
• 尽管指数匹配，波动并非自平均，且持续受随机环境影响。
• 扩散缩放下的聚合物末端测度在分布上收敛于 $\mathbb{R}$ 上的随机绝对连续测度。
• 极限末端测度的随机性源于具有单点边际为交叉分布的平稳过程 $A_\beta$。
• 当 $\beta \to \infty$ 时，$A_\beta$ 的单点边际收敛于 GUE Tracy-Widom 分布。
• 聚合物转移概率的四参数场收敛于随机热方程的解，且点对点自由能波动收敛于 GUE Tracy-Widom 分布。