[论文解读] Intermediate Disorder regime for half-space directed polymers

Xuan Wu|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文建立了中间 disorder regime下半空间定向聚合物的点对点配分函数的收敛性，其中逆温度按 $\beta n^{-1/4}$ 缩放。它证明了该配分函数收敛于带有Robin边界条件和狄拉克初始数据的随机热方程解的混沌级数表示形式，将先前的全空间结果推广至半空间情形，并将结果应用于精确可解的对数伽马聚合物模型。

ABSTRACT

We consider the convergence of partition functions and endpoint density for the half-space directed polymer model in dimension $1+1$ in the intermediate disorder regime as considered for the full space model by Alberts, Khanin and Quastel in [AKQ]. By scaling the inverse temperature like $βn^{-1/4}$, the point-to-point partition function converges to the chaos series for the solution to stochastic heat equation with Robin boundary condition and delta initial data. We also apply our convergence results to the exact-solvable log-gamma directed polymer model in a half-space.

研究动机与目标

• 将全空间定向聚合物的中间 disorder 缩放极限推广至半空间定向聚合物。
• 建立点对点配分函数收敛于带有Robin边界条件的随机热方程的混沌级数解。
• 将一般收敛结果应用于半空间中的精确可解对数伽马聚合物模型。
• 通过随机热方程为半空间聚合物与KPZ普遍性类之间提供严格的联系。

提出的方法

• 采用中间 disorder 缩放 $\beta = n^{-1/4}$，以平衡半空间聚合物模型中的无序与涨落。
• 应用U统计量技术来控制配分函数的矩和累积量。
• 对反射随机游走中的转移概率和首达时间分布进行渐近分析。
• 利用组合恒等式和二项式系数的界，推导配分函数的矩估计。
• 依赖于聚合物测度收敛于带有Robin边界条件的随机热方程解的性质。
• 通过利用对数伽马聚合物的精确可解性及其已知的拉普拉斯变换公式，将一般收敛结果应用于该模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 全空间定向聚合物的中间 disorder regime 是否可推广至具有边界的半空间情形？
• RQ2 半空间聚合物的点对点配分函数是否收敛于带有Robin边界条件的随机热方程的解？
• RQ3 在中间 disorder 缩放下，半空间中的对数伽马聚合物的极限行为是什么？
• RQ4 边界环境 $X$ 的存在如何影响其收敛于随机热方程？

主要发现

• 在中间 disorder 缩放 $\beta n^{-1/4}$ 下，半空间定向聚合物的点对点配分函数依分布收敛于带有Robin边界条件的随机热方程的混沌级数解。
• 该收敛性通过首达时间在反射随机游走中的矩估计与渐近分析建立。
• 该结果适用于精确可解的对数伽马聚合物模型，其收敛于半空间随机热方程的混沌级数形式。
• 证明依赖于对非负整数上受约束路径的转移概率界和组合恒等式。
• 即使存在奖励或惩罚访问原点的边界环境 $X$，收敛性依然成立，该环境会影响极限SPDE的边界条件。
• 该工作为半空间聚合物与KPZ普遍性类之间建立了严格的联系，将弱KPZ普遍性猜想推广至半空间情形。