[论文解读] Intermediately trimmed strong laws for Birkhoff sums on subshifts of finite type

Marc Keßeböhmer, Tanja I. Schindler|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 7

一句话总结

该论文通过引入一种新的拟霍尔德连续函数的巴拿赫空间，建立了有限型子移位上Birkhoff和的中间截断强大数定律，使谱间隙分析成为可能，并将先前针对区间映射的结果扩展至符号动力系统。关键贡献在于证明：对于重尾分布（如圣彼得堡型分布）的可观测量，即使其不可积，经适当序列归一化的中间截断和仍以概率1收敛于1。

ABSTRACT

We prove strong laws of large numbers under intermediate trimming for Birkhoff sums over subshifts of finite type. This gives another application of a previous trimming result only proven for interval maps. In case of Markov measures we give a further example of St.\ Petersburg type distribution functions. To prove these statements we introduce the space of quasi-H\"older continuous functions for subshifts of finite type.

研究动机与目标

• 将中间截断强大数定律从分段扩张区间映射推广至有限型子移位。
• 克服标准利普希茨函数在动力系统设定下无法满足谱间隙与截断条件的问题。
• 引入并分析拟霍尔德连续函数空间，作为符号动力系统谱理论中更大且更合适的巴拿赫空间。
• 为截断和建立新的极限定理，并在吉布斯-马尔可夫测度背景下对圣彼得堡型分布进行精细化分析。
• 证明相同的截断与归一化序列在i.i.d.序列与一大类具有正则变化尾部分布的动力系统中均适用。

提出的方法

• 在有限型子移位上引入一种新的拟霍尔德连续函数的巴拿赫空间，其范数通过基于测度的度量下收缩球上的振荡定义。
• 证明该空间构成巴拿赫代数，并支持与移位映射相关的转移算子的谱间隙。
• 在势函数满足适当条件时，证明该空间上转移算子满足谱间隙性质。
• 利用谱间隙验证先前工作（KS18）中Property D的条件，从而可应用中间截断强大数定律。
• 通过从Birkhoff和中移除最大的bn个项来定义中间截断，其中bn = o(n)，并推导出归一化后几乎必然收敛于1。
• 将该理论应用于马尔可夫测度，并构造子移位上圣彼得堡型分布的显式例子，表明其归一化方式与i.i.d.情形相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 中间截断强大数定律能否从区间映射推广至子移位，其中标准利普希茨函数无法满足所需的谱与截断条件？
• RQ2 拟霍尔德连续函数空间是否为符号动力系统中的谱间隙分析提供了合适框架，特别是针对不可积可观测量？
• RQ3 对于具有正则变化尾部的可观测量（如α ∈(−1,0)），相同的截断序列bn与归一化序列dn是否在子移位中也导致几乎必然收敛，与i.i.d.情形一致？
• RQ4 在吉布斯-马尔可夫测度背景下，非可积随机变量的截断和理论能否得到改进？
• RQ5 在中间截断下，有限型子移位上的圣彼得堡型分布是否表现出与i.i.d.情形相同的渐近行为？

主要发现

• 拟霍尔德连续函数空间构成巴拿赫代数，其范数支持有限型子移位上转移算子的谱间隙。
• 该空间上转移算子满足谱间隙性质，从而可应用先前工作（KS18）中的中间截断结果。
• 对于具有正则变化尾部的可观测量（α ∈(−1,0)），中间截断强大数定律成立，且bn与dn序列与i.i.d.情形相同。
• 本文构造了在吉布斯-马尔可夫测度下子移位上圣彼得堡型分布的显式例子，证明了相同的归一化方式适用。
• 在与i.i.d.情形相同的条件下，截断和Tfn_n χ以概率1收敛，相较于先前结果，截断序列条件得到放松。
• 通过柱函数逼近证明了拟霍尔德范数下单位球的相对紧性，确保子列收敛，从而支持谱理论。