[论文解读] Intermittency in a catalytic random medium

Jürgen Gärtner, W.Th.F. den Hollander|Leiden Repository (Leiden University)|Jun 14, 2004

Theoretical and Computational Physics被引用 3

一句话总结

本文研究了由催化随机介质驱动的随机反应-扩散系统中的间歇性现象，采用具有时变和空间依赖的随机势的抛物安德森模型。研究证明解表现出强烈的间歇性，其高能峰在空间和时间上高度局域化，并推导出解的矩和质量局域化的精确渐近估计。

ABSTRACT

In this paper, we study intermittency for the parabolic Anderson equation $\partial u/\partial t=κΔu+ξu$, where $u:\mathbb{Z}^d imes [0,\infty) o\mathbb{R}$, $κ$ is the diffusion constant, $Δ$ is the discrete Laplacian and $ξ:\mathbb{Z}^d imes[0,\infty) o\mathbb {R}$ is a space-time random medium. We focus on the case where $ξ$ is $γ$ times the random medium that is obtained by running independent simple random walks with diffusion constant $ρ$ starting from a Poisson random field with intensity $ν$. Throughout the paper, we assume that $κ,γ,ρ,ν\in (0,\infty)$. The solution of the equation describes the evolution of a ``reactant'' $u$ under the influence of a ``catalyst'' $ξ$. We consider the annealed Lyapunov exponents, that is, the exponential growth rates of the successive moments of $u$, and show that they display an interesting dependence on the dimension $d$ and on the parameters $κ,γ,ρ,ν$, with qualitatively different intermittency behavior in $d=1,2$, in $d=3$ and in $d\geq4$. Special attention is given to the asymptotics of these Lyapunov exponents for $κ\downarrow0$ and $κ o\infty$.

研究动机与目标

• 理解抛物安德森方程在催化随机介质中的解的行为，其中势能为随机且随时间变化。
• 研究间歇性现象，其特征为解的质量集中在稀少的空间区域。
• 推导解的矩的精确渐近估计，并量化解峰的局域化程度。
• 确立在存在随机催化剂时解表现出强间歇性的条件。
• 分析随机势与扩散过程之间的相互作用如何塑造解的结构。

提出的方法

• 使用具有时变和空间依赖的随机势（代表催化介质）的抛物安德森方程对系统进行建模。
• 采用基于矩的分析方法，研究解的质量随时间的增长与局域化特性。
• 利用大偏差技术与路径估计方法，分析稀少空间区域对解的矩的贡献。
• 应用费曼-卡茨公式，将解表示为在随机势中布朗运动路径上的期望。
• 通过缩放与随机局域化论证，分析矩的渐近行为。
• 通过证明随着时问增加，解的质量集中在一个不断缩小的区域集合中，确立强间歇性区域的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 催化随机介质的存在如何影响抛物安德森方程解的间歇性特性？
• RQ2 在长时间极限下，解的矩的渐近行为如何？
• RQ3 解的质量集中在哪些空间区域，这种局域化随时间如何演化？
• RQ4 在何种条件下解表现出强间歇性，这与随机势的结构有何关联？
• RQ5 催化剂的随机涨落如何影响解的矩的标度行为？

主要发现

• 解表现出强间歇性，其 $p$-阶矩渐近增长形式为 $\exp(\theta_p t)$，其中 $\theta_p$ 是 $p$ 的正的严格凸函数。
• 解的 $p$-阶矩随时间呈指数增长，增长率 $\theta_p$ 依赖于矩的阶数 $p$ 及随机势的统计特性。
• 随着时问增加，解的质量集中在不断缩小的区域集合中，高活性位点的数量呈次指数增长。
• 解的局域化由扩散与随机势之间的相互作用决定，最活跃的区域对应于催化剂的罕见有利实现。
• 矩的渐近行为由一个变分公式刻画，该公式涉及势的累积量生成函数与布朗路径的能量。
• 在弱耦合下，解的间歇性具有鲁棒性，即使催化剂具有空间相关性且随时间变化，该现象依然持续存在。