[论文解读] Intermittency of dynamical phases in a quantum spin glass

Vadim Smelyanskiy, Kostyantyn Kechedzhi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文發現並分析性地描述了量子自旋玻璃本徵譜中一種新型的間歇性結構，其中能帶在兩種非遍歷擴展本徵態（NEE）之間交替：$z$-型（繼承經典自旋玻璃結構，具有長衰減時間）與$x$-型（守恆整數$x$-自磁化）。關鍵結果是這些NEE能帶——由不同隨機矩陣系綜所支配——即使在高橫向場下，也能在低能自旋空間中實現新的量子演算法用於population transfer，且此結構出現在統計上無特徵的隨機能量模型中，暗示其與實際的NP-hard問題相關。

ABSTRACT

Answering the question of existence of efficient quantum algorithms for NP-hard problems require deep theoretical understanding of the properties of the low-energy eigenstates and long-time coherent dynamics in quantum spin glasses. We discovered and described analytically the property of asymptotic orthogonality resulting in a new type of structure in quantum spin glass. Its eigen-spectrum is split into the alternating sequence of bands formed by quantum states of two distinct types ($x$ and $z$). Those of $z$-type are non-ergodic extended eigenstates (NEE) in the basis of $\{σ_z\}$ operators that inherit the structure of the classical spin glass with exponentially long decay times of Edwards Anderson order parameter at any finite value of transverse field $B_{\perp}$. Those of $x$-type form narrow bands of NEEs that conserve the integer-valued $x$-magnetization. Quantum evolution within a given band of each type is described by a Hamiltonian that belongs to either the ensemble of Preferred Basis Levi matrices ($z$-type) or Gaussian Orthogonal ensemble ($x$-type). We characterize the non-equilibrium dynamics using fractal dimension $D$ that depends on energy density (temperature) and plays a role of thermodynamic potential: $D=0$ in MBL phase, $0

研究动机与目标

• 理解量子自旋玻璃中低能本徵態與長時間相干動力學的結構，此為量子演算法的關鍵。
• 識別並特徵化量子自旋玻璃本徵譜中一種新型間歇性結構，其源於兩種不同NEE類型的交替能帶。
• 確立此間歇性結構即使在統計上無特徵的隨機能量模型中亦會出現，暗示其與實際NP-hard問題的相關性。
• 將本徵態的分形維數$D$與熱力學行為連結：$D=0$（MBL）、$0<D<1$（NEE）、$D\to1$（遍機相）於無限溫度時。
• 基於低能區NEE能帶內的population transfer，提出新的類似搜尋的量子演算法。

提出的方法

• 解析推導量子自旋玻璃哈密頓量$H = H_{\rm cl} + H_D$的本徵譜結構，其中$H_{\rm cl}$編碼經典自旋玻璃，$H_D = -B_\perp \sum \sigma_x^k$引入橫向隧穿。
• 將本徵態分為兩類：$z$-型（在$\sigma_z$基中非遍機擴展，繼承經典結構）與$x$-型（守恆$x$-自磁化的非遍機擴展）。
• 以隨機矩陣系綜建模各能帶內的量子動力學：$z$-型使用偏好基底Levi矩陣，$x$-型使用高斯正交系綜（GOE）。
• 定義分形維數$D$為表征局域化程度的熱力學位勢：$D=0$於MBL相，$0<D<1$於NEE相，$D\to1$於無限溫度的遍機相。
• 計算累積態計數指數$\gamma_{x,z}(e, B_\perp)$，以確定能量與場參數下$x$-與$z$-型態的相對密度。
• 透過$\gamma_z(e)$與$\gamma_x(e, B_\perp)$相等的條件推導相變線，即$\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$，並以兩類態的有限溫度配分函數驗證。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子自旋玻璃是否在其本徵譜中表現出一種新型間歇性結構，其特徵為兩種不同類型的非遍機擴展本徵態交替能帶？
• RQ2 這些能帶內的長時間相干動力學是否可由已知的隨機矩陣系綜描述？$z$-型與$x$-型態之間有何差異？
• RQ3 分形維數$D$在表徵譜中從局域化到遍機性的轉變中扮演何種角色？
• RQ4 此間歇性結構是否即使在統計上無特徵的隨機能量模型中亦會出現，暗示其與實際NP-hard問題的相關性？
• RQ5 是否可透過累積態計數指數$\gamma_{x,z}$量化$x$-與$z$-型態的相對密度？相變發生於何處？

主要发现

• 量子自旋玻璃的本徵譜被分為交替的$z$-型與$x$-型非遍機擴展本徵態（NEE）能帶，其中$z$-型態繼承經典自旋玻璃結構，且在任何有限$B_\perp$下均表現出愛德華-安德森序參數的指數長衰減時間。
• $x$-型NEE形成窄能帶，守恆整數$x$-自磁化，其動力學由高斯正交系綜（GOE）支配；而$z$-型NEE則遵循偏好基底Levi矩陣系綜。
• 分形維數$D$作為熱力學位勢：$D=0$於多體局域化（MBL）相，$0<D<1$於NEE相，$D\to1$於無限溫度的遍機相。
• MBL與NEE態即使在大$B_\perp$下亦共存於相同能量範圍，顯示此模型中局域化與擴展行為並非互斥。
• 當$\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$時，$x$-與$z$-型態的主導性發生相變，低能密度$e \ll 1$時臨界點位於$B_\perp = 1/\sqrt{2}$。
• $x$-態的配分函數修正可忽略（$\mathcal{O}(2^{-\alpha n})$），驗證了在低溫極限下可使用自由自旋結果；而$z$-態的自由能與QREM的經典重複解一致。