[论文解读] Intermittent distribution of tracers advected by a compressible random flow

Jérémie Bec, Krzysztof Gawędzki+1 more|ArXiv.org|Oct 13, 2003

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了可压缩随机流中示踪物密度多分形标度与有限时间李雅普诺夫指数（拉伸速率）大偏差之间的定量联系。基于可压缩Kraichnan模型，推导出质量矩的标度指数ξₙ的解析表达式，表明间歇性源于罕见的强拉伸流实现，数值模拟验证了预测的标度行为及在临界阶数n_cr处的饱和。

ABSTRACT

Multifractal properties of a tracer density passively advected by a compressible random velocity field are characterized. A relationship is established between the statistical properties of mass on the dynamical fractal attractor towards which the trajectories converge and large deviations of the stretching rates of the flow. In the framework of the compressible Kraichnan model, this result is illustrated by analytical calculations and confirmed by numerical simulations.

研究动机与目标

• 表征可压缩随机流中示踪物密度的多分形特性。
• 将示踪物质量矩的标度指数ξₙ与流体拉伸速率（有限时间李雅普诺夫指数）的大偏差相联系。
• 建立退火Hentschel-Procaccia谱HP_an(n)与动力吸引子统计性质之间的联系。
• 通过Kraichnan模型的长时间平均数值模拟验证理论预测。

提出的方法

• 使用具有高斯白噪声时间相关速度场的可压缩Kraichnan模型，模拟被动示踪物输运。
• 将示踪物密度ρ*定义为拉格朗日轨迹收敛至的动力吸引子上的不变测度。
• 引入局域质量m_r(x)及其标度指数h_r(x)，以表征小尺度质量分布。
• 通过标度⟨m_r^n⟩ ∼ r^ξₙ推导退火Hentschel-Procaccia谱HP_an(n)，其中ξₙ与速率函数S(h)的勒让德变换相关。
• 通过形变张量特征值联合分布的生成函数，将ξₙ与拉伸速率σ_i的大偏差相联系。
• 进行数值模拟，最多使用10⁵个示踪物和10⁸次周转时间，计算矩并验证标度指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可压缩流中，示踪物质量矩的标度指数ξₙ与有限时间李雅普诺夫指数的大偏差之间有何关系？
• RQ2 决定ξₙ在临界阶数n_cr后饱和的物理机制是什么？其与可压缩性的依赖关系如何？
• RQ3 是否可从拉伸速率的统计特性推导出示踪物测度的多分形谱f(h)？
• RQ4 矩⟨m_r^n⟩如何随r变化？这对示踪物分布的间歇性和非高斯性有何含义？

主要发现

• 示踪物质量矩的标度指数ξₙ由流体拉伸速率的大偏差决定，且已推导出精确的解析关系。
• 在可压缩Kraichnan模型中，ξₙ对n表现出非线性依赖，表明m_r分布具有强烈的间歇性和非高斯尾部。
• 临界阶数n_cr（ξₙ在此之后饱和）由Fokker-Planck算子在共线极限下的零模解的可积性决定，当℘ < 1/6时n_cr = 1/(6℘)，当℘ > 1/6时n_cr = 1/(6(1−℘))。
• 使用最多10⁸次周转时间的数值模拟验证了理论预测，显示与解析标度指数的良好一致性，并在n_cr处出现饱和。
• 对于整数n，矩⟨m_r^n⟩与示踪物密度的平稳相关函数F_{n+1}相关，F_{n+1}是二阶微分算子M_{n+1}^†的零模，其齐次度即为ξₙ。
• quenched与annealed Hentschel-Procaccia谱不同，HP_qu(n) ≥ HP_an(n)，且annealed谱完全由标度ξₙ决定。