[论文解读] Internal Diffusion-Limited Aggregation: Parallel Algorithms and Complexity

Cristopher Moore, Jonathan Machta|ArXiv.org|Sep 15, 1999

Advanced Algebra and Logic被引用 4

一句话总结

本文研究了二维及以上维度下内部扩散限制聚集（internal DLA）的计算复杂度，证明其为CC-完全问题，表明并行计算存在固有的局限性。本文提出一种并行松弛算法，利用簇的近似球形结构加速簇的预测，在模拟中实现了对数或小幂次的并行运行时间，理论上在k台处理器的机器上，其步骤复杂度为O((n/k + log k)n^{2/d})，显著优于顺序计算的O(n^{1+2/d})。

ABSTRACT

The computational complexity of internal diffusion-limited aggregation (DLA) is examined from both a theoretical and a practical point of view. We show that for two or more dimensions, the problem of predicting the cluster from a given set of paths is complete for the complexity class CC, the subset of P characterized by circuits composed of comparator gates. CC-completeness is believed to imply that, in the worst case, growing a cluster of size n requires polynomial time in n even on a parallel computer. A parallel relaxation algorithm is presented that uses the fact that clusters are nearly spherical to guess the cluster from a given set of paths, and then corrects defects in the guessed cluster through a non-local annihilation process. The parallel running time of the relaxation algorithm for two-dimensional internal DLA is studied by simulating it on a serial computer. The numerical results are compatible with a running time that is either polylogarithmic in n or a small power of n. Thus the computational resources needed to grow large clusters are significantly less on average than the worst-case analysis would suggest. For a parallel machine with k processors, we show that random clusters in d dimensions can be generated in O((n/k + log k) n^{2/d}) steps. This is a significant speedup over explicit sequential simulation, which takes O(n^{1+2/d}) time on average. Finally, we show that in one dimension internal DLA can be predicted in O(log n) parallel time, and so is in the complexity class NC.

研究动机与目标

• 分析二维及以上维度下内部DLA的计算复杂度。
• 开发用于模拟内部DLA簇生长的高效并行算法。
• 确定内部DLA是否能以高效方式在并行环境下预测，尤其与最坏情况复杂度界限进行比较。
• 通过模拟评估所提出的并行松弛算法的实际性能。

提出的方法

• 证明在d ≥ 2维下，内部DLA预测为CC-完全问题，表明并行计算存在固有困难。
• 设计一种并行松弛算法，基于路径数据猜测簇的形状，并通过非局部湮灭过程纠正错误。
• 利用内部DLA簇的近似球形几何结构指导初始猜测，减少校正步骤。
• 在串行计算机上模拟该松弛算法，以估计其在二维下的并行运行时间。
• 推导在k台处理器的并行机器上生成簇所需步骤数的理论界限。
• 证明在一维情况下，内部DLA可在O(log n)并行时间内预测，因此属于NC复杂度类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维或更多维度下，内部扩散限制聚集在并行计算中是否具有计算困难性？其所属的复杂度类是什么？
• RQ2 能否利用内部DLA簇的近似球形结构设计出更快速的并行算法？
• RQ3 在k台处理器的机器上，生成随机内部DLA簇的理论并行时间复杂度是多少？
• RQ4 该松弛算法在实际中是否表现出优于最坏情况分析预测的性能？
• RQ5 在一维情况下，内部DLA能否被高效并行化？它是否属于NC复杂度类？

主要发现

• 在二维及以上维度下，内部DLA为CC-完全问题，表明即使采用并行计算，该问题在最坏情况下仍需多项式时间。
• 所提出的并行松弛算法表现出的运行时间在二维下为对数时间或n的小幂次，表明其性能优于最坏情况预测。
• 在具有k台处理器的并行机器上，该算法在d维下的步骤复杂度为O((n/k + log k)n^{2/d})，相比顺序模拟的O(n^{1+2/d})实现了显著加速。
• 理论加速效果显著：从顺序模拟的O(n^{1+2/d})降低到并行执行的O((n/k + log k)n^{2/d})。
• 在一维情况下，内部DLA可在O(log n)并行时间内预测，因此属于NC复杂度类。
• 对松弛算法的数值模拟支持了其运行时间随n增长缓慢的假设，与最坏情况复杂度预测相矛盾。