[论文解读] Internal Symmetry Group and Density Matrix of Fields with Spins 0, 1

S. I. Kruglov|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2001

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文利用正则哈密顿形式化方法，研究了描述自旋为0和1的中性矢量场的内部对称群U(3,1)，推导出守恒律与具有不定度规的量子化场论。结果表明，在电动力学中U(3,1)群约化为U(2)，并通过投影矩阵-双二次型构造了线性无关解，确认该场描述了自旋-0与自旋-1态的叠加，并给出了纯自旋态的显式密度矩阵。

ABSTRACT

The internal symmetry group U(3,1) of the neutral vector fields with two spins 0 and 1 is investigated. Massless fields correspond to the generalized Maxwell equations with the gradient term. The symmetry transformations in the coordinate space are integro-differential transformations. Using the method of the Hamiltonian formalism the conservation tensors are found, and the quantized theory is studied. The necessity to introduce an indefinite metric is shown. The internal symmetry group U(3,1) being considered, after the transition to electrodynamics, reduces to the U(2) group. It is shown that the group of dual transformations is the subgroup of the group under consideration. All the linearly independent solutions of the equation for a free particle obtained in terms of the projection matrix-dyads.

研究动机与目标

• 研究同时描述自旋-0与自旋-1粒子的中性矢量场的内部对称群U(3,1)。
• 推导具有自旋0和1的宏观与无质量Stueckelberg型矢量场的守恒律与哈密顿形式化。
• 证明由于场的多自旋性质，量子化理论中必须采用不定度规。
• 利用投影矩阵-双二次型构造自由粒子的线性无关解，以分离出纯自旋-0与自旋-1态。
• 表明在电动力学背景下，U(3,1)对称性约化为U(2)，并识别对偶变换为该结构的子群。

提出的方法

• 将中性矢量场的拉格朗日量表述为 $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\left[(\partial_\mu B_\nu)^2 + m^2 B_\mu^2\right]$，适用于宏观与无质量情形。
• 应用正则形式化方法，推导出哈密顿密度与场的共轭动量，从而在动量空间中得到哈密顿量。
• 利用诺特定理，从场变换的SO(3,1)对称性推导出守恒的自旋与轨道角动量张量。
• 引入泡利-卢班斯基算符及其平方形式，以确定自旋量子数，表明本征值为 $s(s+1) = 0$ 与 $2$。
• 构造投影算符 $S_{(0)}^2$ 与 $S_{(1)}^2$ 以提取纯自旋-0与自旋-1态，并进一步利用 $\sigma_p$ 投影至自旋投影 $\pm1$ 与 $0$。
• 推导出显式密度矩阵 $\Delta_{\varepsilon,\pm1}$、$\Delta_{\varepsilon}^{(1)}$ 与 $\Delta_{\varepsilon}^{(0)}$，作为矩阵-双二次型 $\Psi \cdot \overline{\Psi}$ 的形式，适用于量子化场中的纯自旋态。

实验结果

研究问题

• RQ1 描述自旋为0和1的中性矢量场的内部对称群是什么？
• RQ2 正则哈密顿形式化如何揭示此类多自旋场中自旋与轨道角动量的守恒律？
• RQ3 为何该场的量子化理论中必须采用不定度规？
• RQ4 如何将场的波函数投影至具有确定自旋投影的纯自旋-0与自旋-1态？
• RQ5 U(3,1)群在电动力学中如何约化为U(2)，对偶变换在此结构中扮演何种角色？

主要发现

• 自旋为0和1的中性矢量场的内部对称群为U(3,1)，在电动力学极限下约化为U(2)。
• 由于自旋-0与自旋-1自由度共存，该场论必须采用不定度规，此结论由哈密顿量与度规算符 $\eta$ 的结构所证实。
• 平方自旋算符 $\sigma^2$ 满足方程 $\sigma^2(\sigma^2 - 2) = 0$，本征值为 $s(s+1) = 0$ 与 $2$，确认了自旋-0与自旋-1态的叠加。
• 投影算符 $S_{(0)}^2 = 1 - \sigma^2/2$ 与 $S_{(1)}^2 = \sigma^2/2$ 成功分离出纯自旋-0与自旋-1态。
• 纯态的密度矩阵以矩阵-双二次型形式构造：$\Delta_{\varepsilon,\pm1} = \Psi_{\varepsilon,\pm1} \cdot \overline{\Psi}_{\varepsilon,\pm1}$ 等，其显式表达式包含动量与质量参数。
• 自旋投影算符 $\sigma_p$ 满足 $\sigma_p(\sigma_p - 1)(\sigma_p + 1) = 0$，通过 $\widehat{S}_{(\pm1)} = \frac{1}{2}\sigma_p(\sigma_p \pm 1)$ 实现对 $s_p = \pm1$ 与 $s_p = 0$ 态的投影。