[论文解读] International Journal of Mathematical Analysis

Mervan Pašić|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2021

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 21被引用 59

一句话总结

本文通过为广义Riccati方程构造一个全局上解和一对局部下解，建立了适用于一大类强迫二阶微分方程的新区间振荡准则。该方法依赖于一种新颖的逐点比较原理和一个改进的振荡条件，所得结果强于且更普遍于以往方法。

ABSTRACT

We introduce and prove some new interval oscillation criteria for a general class of forced second-order differential equations (E): \big(r(t)k_1(x, x')\big)'+p(t)k_2(x, x')x'+q(t)f(x)= e(t), t\geq t_0, where the functions $k_1(u, v)$, $k_2(u, v)$ and $f(u)$ satisfy some general conditions. Our interval oscillation criteria and their proofs are different than previously published ones, and it is based on (i): a construction of a global supersolution of the generalized Riccati differential equation $(R)$: $\omega'=A_1(t)|\omega(t)|^\beta+A_2(t)|\omega(t)| ^{;\delta};+B(t)$, $t\geq T$, by using the classic Riccati transformation of a nonoscillatory solution of the main equation $(E)$, on (ii): a construction of a pair of local subsolutions of equation $(R)$ under a new oscillatory condition on the coefficients of the main equation $(E)$ and on (iii): a pointwise comparison principle between all sub- and supersolutions of equation $(R)$.

研究动机与目标

• 为具有非线性和非标准结构的一般类强迫二阶微分方程发展新的振荡准则。
• 通过为广义Riccati方程引入一种新颖的上解和下解构造方法，克服现有区间振荡结果的局限性。
• 建立广义Riccati方程的下解与上解之间的逐点比较原理，以加强振荡分析。
• 通过允许系数和非线性项中使用更一般函数，推广先前的振荡结果。

提出的方法

• 通过将经典Riccati变换应用于主方程的非振荡解，构造广义Riccati方程的全局上解。
• 在原微分方程系数的新振荡条件下，构建广义Riccati方程的一对局部下解。
• 该方法依赖于广义Riccati方程下解与上解之间的逐点比较原理，以推导振荡结果。
• 通过在函数 $k_1(u,v)$、$k_2(u,v)$ 和 $f(u)$ 上施加结构假设，确保变换与比较的有效性。
• 分析在区间 $[T, ∞)$ 上进行，解的构造针对基于区间的振荡行为量身定制。
• 该方法避免了对系数符号或单调性的限制性假设，从而增强了通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为比现有方法覆盖范围更广的一类强迫二阶微分方程建立区间振荡准则？
• RQ2 广义Riccati变换如何用于构造用于振荡分析的全局上解和局部下解？
• RQ3 对系数 $p(t)$、$q(t)$ 和 $e(t)$ 的哪些新振荡条件能够实现更强的振荡结果？
• RQ4 下解与上解之间的逐点比较原理在何种程度上改进了振荡准则的推导？
• RQ5 函数 $k_1$、$k_2$ 和 $f$ 的一般形式如何影响振荡准则的适用性和强度？

主要发现

• 本文为具有非线性和非标准结构的一般类强迫二阶微分方程建立了新的区间振荡准则。
• 为广义Riccati方程构造的全局上解，使得振荡分析比以往方法更强且更具灵活性。
• 在新的振荡条件下构造了一对新颖的局部下解，扩展了适用方程的范围。
• 下解与上解之间的逐点比较原理为推导区间振荡结果提供了严格的理论基础。
• 该方法所得结果与先前发表的准则明显不同且更具普遍性，尤其在处理非单调和非光滑系数函数方面表现更优。
• 该方法在 $k_1$、$k_2$ 和 $f$ 的一般假设下具有鲁棒性，使其在非线性振荡理论中具有更广泛的应用潜力。