[论文解读] Interpolating and sampling sequences for entire functions

Nicolas Marco, Xavier Massaneda+1 more|ArXiv.org|May 23, 2002

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用 9

一句话总结

本论文为具有次调和权重 φ 的广义 Fock 空间中的插值与采样序列建立了 Beurling 类型的密度条件，其中权重函数 φ 的拉普拉斯 Δφ 满足加倍性质。通过引入由 Δφ 导出的度量并使用加权范数，作者将 Seip 在经典 Fock 空间中的结果进行推广，并扩展了此前关于有界加倍权重的工作，通过基于 Δφ 所诱导的几何结构的适配密度条件，刻画了插值与采样性质。

ABSTRACT

We characterise interpolating and sampling sequences for the spaces of entire functions f such that f e^{-phi} belongs to L^p(C), p>=1 (and some related weighted classes), where phi is a subharmonic weight whose Laplacian is a doubling measure. The results are expressed in terms of some densities adapted to the metric induced by the Laplacian of phi. They generalise previous results by Seip for the case phi(z)=|z|^2, and by Berndtsson & Ortega-Cerdà and Ortega-Cerdà & Seip for the case when the Laplacian of phi is bounded above and below.

研究动机与目标

• 将 Fock 型空间中插值与采样问题的 Beurling 类型密度条件推广至经典情形 φ(z) = |z|² 之外的更广范围。
• 将 Seip、Berndtsson–Ortega-Cerdà 以及 Ortega-Cerdà–Seip 的先前结果扩展至 Δφ 为加倍测度的情形，从而允许更一般的增长条件。
• 通过基于 Δφ 所诱导度量的适配密度条件，而非依赖于一致有界性，刻画插值与采样序列。
• 在具有次调和权重的整函数加权 L^p 空间中，建立插值与采样问题的精确必要与充分条件。

提出的方法

• 作者通过定义一个次调和权重 φ（其拉普拉斯 Δφ 为加倍测度）和一个增长缓慢的平坦权重 ω，构造加权 Fock 空间 F_{φ,ω}^p。
• 他们引入 Δφ 的正则化版本 ρ(z)，定义为满足 μ(D(z,ρ(z))) = 1 的半径，从而在 C 上构造出一种几何度量。
• 利用 Hörmander 对 ∂̄-方程的 L² 估计，通过求解满足在某点函数值与导数为零的 ∂̄u = ∂̄F 的解，构造出具有受控增长的插值函数。
• 通过使用截断函数与全纯延拓，构造出具有精确点态衰减估计的峰值函数 h_η，进而构建投影算子 P_η。
• 关键的技术工具是 [Ber97, Lemma 3.1] 的修改版本，经缩放至单位圆盘后应用，以通过 L² 与 L∞ 估计控制上确界范数。
• 通过分析序列的弱极限并利用缩放平移下的不变性，推导出密度条件，从而得到相对于 ρ-度量的上密度与下密度的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于拉普拉斯 Δφ 为加倍测度的次调和权重的广义 Fock 空间，序列的插值问题所需满足的精确必要与充分密度条件是什么？
• RQ2 插值与采样性质如何依赖于权重函数 φ 的拉普拉斯所诱导的几何结构？
• RQ3 Seip 在 Fock 空间中的经典结果能否推广至 Δφ 不再有上下界但仅满足加倍性质的情形？
• RQ4 正则化半径 ρ(z) 在定义插值与采样正确密度中起什么作用？
• RQ5 如何在这些加权空间中构造具有受控增长与范数估计的插值函数？

主要发现

• 本文证明：序列 Λ 是 F_{φ,ω}^p 的插值序列，当且仅当其相对于 ρ-度量满足下密度条件，其中密度通过半径为 ρ(z) 的球与 Δφ 的加倍性质定义。
• 序列 Λ 是 F_{φ,ω}^p 的采样序列，当且仅当其满足上密度条件，以确保限制映射有下界。
• 插值常数 M(Λ) 与采样常数 L(Λ) 一致有界，当且仅当序列满足相应的密度条件。
• 构造满足 |h_η(z)| ≤ C e^{φ(z)−φ(η)} ρ(η)^2 / ρ(z) 的峰值函数 h_η，是证明必要条件的关键。
• 作者证明：满足 u(η) = ∂u(η) = 0 的 ∂̄-方程解 u 满足 ||u||_{F_{φ,ρ}^∞} ≤ C ρ(η)^2 e^{-φ(η)}，这对范数控制至关重要。
• 结果推广了 Seip 对 φ(z) = |z|² 的经典结果，并将框架扩展至包含 φ(z) = |z|^β（β > 0）等权重，其中 ω = ρ^α。