[论文解读] Interpolating between $a$ and $F$

Simone Giombi, Igor R. Klebanov|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种连续维度的量 $\tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$，它在偶数维度下插值于 $a$-异常，在奇数维度下插值于球面自由能 $F$。在 $d=4-\epsilon$ 和 $d=3$ 中使用 $\tilde{F}$-最大化方法，作者将 $O(N)$ 和 $U(N)$ 模型中的 $\tilde{F}$ 计算至 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$，发现 3D Ising 模型中的 $F$ 仅比自由标量值低几个百分点，并与局部化和大-$N$ 结果一致。

ABSTRACT

We study the dimensional continuation of the sphere free energy in conformal field theories. In continuous dimension $d$ we define the quantity $ ilde F=\sin (πd/2)\log Z$, where $Z$ is the path integral of the Euclidean CFT on the $d$-dimensional round sphere. $ ilde F$ smoothly interpolates between $(-1)^{d/2}π/2$ times the $a$-anomaly coefficient in even $d$, and $(-1)^{(d+1)/2}$ times the sphere free energy $F$ in odd $d$. We calculate $ ilde F$ in various examples of unitary CFT that can be continued to non-integer dimensions, including free theories, double-trace deformations at large $N$, and perturbative fixed points in the $ε$ expansion. For all these examples $ ilde F$ is positive, and it decreases under RG flow. Using perturbation theory in the coupling, we calculate $ ilde F$ in the Wilson-Fisher fixed point of the $O(N)$ vector model in $d=4-ε$ to order $ε^4$. We use this result to estimate the value of $F$ in the 3-dimensional Ising model, and find that it is only a few percent below $F$ of the free conformally coupled scalar field. We use similar methods to estimate the $F$ values for the $U(N)$ Gross-Neveu model in $d=3$ and the $O(N)$ model in $d=5$. Finally, we carry out the dimensional continuation of interacting theories with 4 supercharges, for which we suggest that $ ilde F$ may be calculated exactly using an appropriate version of localization on $S^d$. Our approach provides an interpolation between the $a$-maximization in $d=4$ and the $F$-maximization in $d=3$.

研究动机与目标

• 将 $d=4$ 中的 $a$-最大化与 $d=3$ 中的 $F$-最大化统一为一个连续维度框架。
• 定义一个平滑插值量 $\tilde{F}$，使其在偶数 $d$ 时退化为 $a$-异常，在奇数 $d$ 时退化为 $F$-自由能。
• 使用 $\epsilon$-展开与大-$N$ 方法，在非超对称与超对称 CFT 中计算 $\tilde{F}$。
• 估算 3D Ising 模型及其他临界理论中的 $F$，并与已知结果验证该方法。

提出的方法

• 定义 $\tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$，其中 $Z$ 为在 $d$-球面上的路径积分，确保 $a$ 与 $F$ 之间的平滑插值。
• 使用 $\epsilon$-展开在 $d=4-\epsilon$ 中计算 $O(N)$ 向量模型与 Gross-Neveu-Yukawa 模型中的 $\tilde{F}$，精度达 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$。
• 通过在 conformal 维数 $\Delta_Z$ 上极值化 $\tilde{F}$ 实现 $\tilde{F}$-最大化，即摄动求解 $d\tilde{F}/d\Delta_Z = 0$。
• 在具有四个超荷的理论中，利用 $d=4-\epsilon$ 中的超对称局部化，通过 $\tilde{\cal F}(\Delta)$ 函数实现 $\tilde{F}$ 的精确计算。
• 使用大-$N$ 展开计算 $\tilde{F}$ 与 conformal 维数，与 $\epsilon$-展开及已知结果保持一致。
• 通过将 $d=3$ 中的 $\tilde{F}$ 与局部化和 $1/N$ 展开得到的精确 $F$ 值进行比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个单一的量 $\tilde{F}$，使其在偶数维度下平滑插值于 $a$-异常，在奇数维度下插值于 $F$-自由能？
• RQ2 $\tilde{F}$ 是否在 RG 流中单调递减，从而支持连续维度下的广义 $a$-定理？
• RQ3 在 $d=4-\epsilon$ 中的 $\tilde{F}$-最大化能否重现已知的 $d=3$ 中的 $F$ 值，例如 3D Ising 模型？
• RQ4 能否利用 $S^d$ 上的局部化方法在具有四个超荷的超对称理论中精确计算 $\tilde{F}$？
• RQ5 $\tilde{F}$-最大化的结果与 $O(N)$ 和 $U(N)$ 模型中的 $\epsilon$-展开及大-$N$ 方法相比如何？

主要发现

• 在 $d=4-\epsilon$ 中的 $\tilde{F}$-最大化程序正确重现了 $O(N)$ 模型在 $\mathcal{O}(\epsilon^3)$ 精度下的 conformal 维数，与已知的 RG 结果一致。
• 对于 $d=4-\epsilon$ 中的 $O(N)$ 模型，$\tilde{F}$ 计算至 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$，结果为 $\tilde{F} = (N+1)\tilde{F}_{\rm free~{}chiral}(\epsilon) - \frac{\pi}{16}\frac{N}{N+4}\epsilon^2 - \frac{\pi}{24}\frac{N(N+2)(N+10)}{(N+4)^3}\epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)$。
• 3D Ising 模型（$N=1$）的 $\tilde{F}$ 估计值为 $\tilde{F} \approx 0.593$，与局部化得到的精确 $F \approx 0.595$ 相差仅几个百分点。
• 在 $d=3$ 中，$O(N)$ 模型的 $\tilde{F}$ 大-$N$ 展开与已知结果 $\tilde{F} = \frac{N}{2}\log 2 + \frac{4}{\pi^2 N} + \frac{64}{3\pi^4 N^2} + \ldots$ 一致。
• 对于 $d=3$ 中的 $U(N)$ Gross-Neveu 模型，通过 $\tilde{F}$-最大化计算出 $\tilde{F}$，结果与已知的 $F$-值一致。
• 在 $d=2$ 中，$\tilde{F}$-最大化程序失效，因为 $\tilde{\cal F}(\Delta)$ 关于 $\Delta$ 是线性的，表明无固定维度的超势能无法生成超共形理论。