[论文解读] Interpolating between $k$-Median and $k$-Center: Approximation Algorithms for Ordered $k$-Median

Deeparnab Chakrabarty, Chaitanya Swamy|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Facility Location and Emergency Management被引用 11

一句话总结

本文提出了一种针对有序 k-中位问题的 (18+ε)-近似算法，该问题是 k-中位和 k-中心问题的推广，旨在最小化有序分配成本的加权和。该算法利用拉格朗日松弛、原始对偶方法以及一种枚举技术，实现了该保证，对于 {0,1} 权重的特殊情况，通过一种新颖的归约方法至标准 k-中位问题，获得了更紧致的 (8.5+ε)-近似。

ABSTRACT

We consider a generalization of $k$-median and $k$-center, called the {\\em ordered $k$-median} problem. In this problem, we are given a metric space $(\\mathcal{D},\\{c_{ij}\\})$ with $n=|\\mathcal{D}|$ points, and a non-increasing weight vector $w\\in\\mathbb{R}_+^n$, and the goal is to open $k$ centers and assign each point each point $j\\in\\mathcal{D}$ to a center so as to minimize $w_1\\cdot\ ext{(largest assignment cost)}+w_2\\cdot\ ext{(second-largest assignment cost)}+\\ldots+w_n\\cdot\ ext{($n$-th largest assignment cost)}$. We give an $(18+\\epsilon)$-approximation algorithm for this problem. Our algorithms utilize Lagrangian relaxation and the primal-dual schema, combined with an enumeration procedure of Aouad and Segev. For the special case of $\\{0,1\\}$-weights, which models the problem of minimizing the $\\ell$ largest assignment costs that is interesting in and of by itself, we provide a novel reduction to the (standard) $k$-median problem showing that LP-relative guarantees for $k$-median translate to guarantees for the ordered $k$-median problem; this yields a nice and clean $(8.5+\\epsilon)$-approximation algorithm for $\\{0,1\\}$ weights.

研究动机与目标

• 开发一种针对有序 k-中位问题的常数因子近似算法，该问题通过最小化有序分配成本的加权和，推广了 k-中位和 k-中心问题。
• 解决有序 k-中位问题近似算法研究的有限性，尤其是在一般度量空间中的情况。
• 为 {0,1} 权重的特殊情况提供一个简洁的 (8.5+ε)-近似，其中目标是最小化 ℓ 个最大的分配成本。
• 通过新颖的线性规划松弛和枚举技术，将 {0,1} 情况下的技术扩展至一般加权设置。
• 相较于先前工作，实现更优的近似保证，包括在 {0,1} 情况下优于同期结果 Byrka 等人 (38+ε) 的界。

提出的方法

• 为 {0,1} 权重情况设计一种新颖的线性规划松弛，避免了自然松弛中 Ω(ℓ) 的整数规划间隙。
• 结合原始对偶框架与拉格朗日松弛，以处理有序成本结构。
• 采用受 Aouad 和 Segev 启发的枚举过程，基于估计的最优值探索候选解。
• 对于一般加权情况，采用两阶段方法：首先估计最大成本 M 和权重向量 w^est，然后求解修改后的线性规划以选择中心。
• 引入函数 g_{M,w^est}(9; c_j)，以在最终解中相对于估计最优值，界定每个客户成本的贡献。
• 通过组合多个引理和命题的理论保证，将总成本控制在最优值的 (18+O(ε)) 倍以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般有序 k-中位问题实现常数因子近似，该问题介于 k-中位和 k-中心之间？
• RQ2 对于 {0,1} 权重变体的有序 k-中位问题，即目标是最小化 ℓ 个最大的分配成本，最佳可能的近似比是多少？
• RQ3 如何将原始对偶和拉格朗日松弛等基于线性规划的技术适配以处理非可分的、有序的成本函数？
• RQ4 能否从 {0,1} 权重的有序 k-中位问题到标准 k-中位问题的归约保持近似保证？
• RQ5 在一般加权设置中，近似比与算法复杂度之间存在何种权衡？

主要发现

• 本文通过原始对偶、拉格朗日松弛和枚举技术的创新组合，实现了对一般有序 k-中位问题的 (18+ε)-近似。
• 对于 {0,1} 权重情况，作者通过将问题归约为标准 k-中位问题，获得了 (8.5+ε)-近似，利用了线性规划相对保证。
• 该算法使用了一种精心构造的线性规划松弛，避免了 ℓ-中心问题中自然松弛的 Ω(ℓ) 整数规划间隙。
• 分析表明，解的代价被限制在估计最优代价的 9 倍加上低阶项以内，这些项随后被放大并与其他界结合。
• 最终的近似比 (18+O(ε)) 是通过将估计代价界与最优解代价及权重估计中的误差项结合推导得出。
• 该方法优于同期 Byrka 等人 (38+ε) 在 {0,1} 情况下的结果，使用了更简单的技术并获得了更优的近似因子。