[论文解读] Interpolating Thin-Shell and Sharp Large-Deviation Estimates For Isotropic Log-Concave Measures

Olivier Guédon, Emanuel Milman|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2010

Statistical and numerical algorithms参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文为 $ℝ^n$ 中的各向同性 log-concave 随机向量建立了统一的集中不等式，实现了薄壳估计与精确大偏差估计之间的插值。证明了对所有 $t \geq 0$，有 $\mathbb{P}(||X| - \sqrt{n}| \geq t\sqrt{n}) \leq C\exp(-cn^{1/2}\min(t^3,t))$，该结果改进了先前的结果，并在 $X$ 为 $\psi_\alpha$（$\alpha \in (1,2]$）时得到更紧的界，此时薄壳宽度为 $O(n^{1/3})$，对 $\psi_2$ 向量则为 $O(n^{1/4})$。

ABSTRACT

Given an isotropic random vector $X$ with log-concave density in Euclidean space $\Real^n$, we study the concentration properties of $|X|$ on all scales, both above and below its expectation. We show in particular that: \[ ¶(\abs{|X| -\sqrt{n}} \geq t \sqrt{n}) \leq C \exp(-c n^{1/2} \min(t^3,t)) \;\;\; \forall t \geq 0 ~, \] for some universal constants $c,C>0$. This improves the best known deviation results on the thin-shell and mesoscopic scales due to Fleury and Klartag, respectively, and recovers the sharp large-deviation estimate of Paouris. Another new feature of our estimate is that it improves when $X$ is $ψ_α$ ($α\in (1,2]$), in precise agreement with Paouris' estimates. The upper bound on the thin-shell width $\sqrt{\Var(|X|)}$ we obtain is of the order of $n^{1/3}$, and improves down to $n^{1/4}$ when $X$ is $ψ_2$. Our estimates thus continuously interpolate between a new best known thin-shell estimate and the sharp large-deviation estimate of Paouris. As a consequence, a new best known bound on the Cheeger isoperimetric constant appearing in a conjecture of Kannan--Lovász--Simonovits is deduced.

研究动机与目标

• 统一并改进各向同性 log-concave 随机向量的欧氏范数 $|X|$ 在所有尺度上的现有集中估计。
• 弥合薄壳猜想与 Paouris 的精确大偏差估计之间的差距。
• 推导出在这些情形之间连续插值的界，尤其在 $X$ 为 $\psi_\alpha$（$\alpha \in (1,2]$）时实现改进。
• 推导出关于 Cheeger 等周常数的新最优已知上界，支持 KLS 猜想。

提出的方法

• 通过在薄壳与大偏差情形之间插值，推导出关于 $|X|$ 的新集中不等式。
• 应用凸几何技术，包括 Prékopa–Leindler 定理与 Borell 定理，分析 log-concave 密度函数。
• 利用 $\mathbb{R}^m$ 中的极坐标与体积比较方法，估计边缘密度及其比值。
• 通过 Prékopa–Leindler 不等式与 Stirling 公式进行矩比较，以控制体积比。
• 引入 log-concave 测度的函数不等式，以在质心约束下有界 $f(0)/\|f\|_\infty$ 的比值。
• 应用 $Z_q^+$-体与 $K_{m+q}(w)$-体的结果，关联测度的几何与概率性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一个统一的集中不等式，使各向同性 log-concave 向量在薄壳与精确大偏差情形之间实现插值？
• RQ2 当假设 $X$ 为 $\psi_\alpha$ 型时，如何改进 $|X|$ 的集中界？
• RQ3 在各向同性 log-concave 测度下，薄壳宽度 $\sqrt{\mathrm{Var}(|X|)}$ 的最优阶数是多少？
• RQ4 新的集中估计能否带来对 Cheeger 等周常数的改进界？
• RQ5 在不同情形之间的插值是否能作为极限情况恢复 Paouris 的精确大偏差估计？

主要发现

• 本文建立了对任意 $ℝ^n$ 中各向同性 log-concave 向量 $X$ 和所有 $t \geq 0$ 成立的界：$\mathbb{P}(||X| - \sqrt{n}| \geq t\sqrt{n}) \leq C\exp(-cn^{1/2}\min(t^3,t))$。
• 该界改进了 Fleury 的薄壳估计与 Klartag 的中尺度结果，并在极限情况下恢复 Paouris 的精确大偏差估计。
• 当 $X$ 为 $\psi_\alpha$（$\alpha \in (1,2]$）时，该界改进方式与 Paouris 的估计完全一致。
• 薄壳宽度 $\sqrt{\mathrm{Var}(|X|)}$ 的上界为 $O(n^{1/3})$，当 $X$ 为 $\psi_2$ 时进一步优化为 $O(n^{1/4})$。
• 该结果意味着对 Cheeger 等周常数给出了新的最优已知上界，支持 Kannan–Lovász–Simonovits 猜想。
• 该分析还给出了 log-concave 密度在质心位于原点时，比值 $f(0)/\|f\|_\infty$ 的统一下界，这对体积比较至关重要。